Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 15, resolvido

O que governa este item. Não sabes quem é $f$ — e não precisas de saber. A reta $r$ é toda a informação que tens sobre $f$, e é exactamente a informação de que precisas, porque uma assíntota é um par de limites.

A definição que vais usar: a reta $y=mx+b$ é assíntota não vertical ao gráfico de uma função $h$ em $+\infty$ quando

e ambos os limites existem e são finitos. Como o domínio de $g$ é ${\mathbb{R}}^{+}$, só há um lado a estudar: $x\to +\infty$.

o que a assíntota de $f$ te dá

Dizer que $y=-x+2$ é assíntota ao gráfico de $f$ em $+\infty$ é dizer que a distância vertical entre o gráfico e a reta tende para zero:

Daqui saem as duas únicas coisas que vais usar sobre $f$:

A primeira é imediata: de $f(x)+x-2\to 0$ vem $f(x)+x\to 2$. A segunda sai da primeira, escrevendo

Nos critérios, reconhecer cada um destes dois limites vale $2$ pontos — são $4$ dos $14$, só por leres a reta $r$ como dois limites.

arrumar a parcela nova

Antes de qualquer limite, separa a fracção que foi acrescentada a $f$:

E fixa o limite notável que está no formulário: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$, logo

A exponencial ganha sempre ao polinómio. É esta a única ferramenta de cálculo que o item exige.

1.º — o declive — $7$ dos $14$ pontos

A segunda parcela tratas-a separando a fracção, que é o que evita a indeterminação:

Portanto

O declive de $g$ é o mesmo de $f$. Faz sentido: a parcela acrescentada tende para uma constante, e uma constante não muda inclinações.

2.º — a ordenada na origem — $6$ pontos, e um sinal que trai muita gente

Como $m=-1$, tem-se $g(x)-mx=g(x)-(-1)x=g(x)+x$. Escreve este sinal com cuidado: é aqui que se perdem itens inteiros, por se calcular $\lim \left(g(x)-x\right)$, que não é finito.

A primeira parcela já a tens: vale $2$, e vem directamente da assíntota de $f$. A segunda, pela simplificação que fizeste acima,

Logo

⚠️ A armadilha desta linha. Quem confunde esta fracção com a do declive escreve $\lim \frac{x+e^x}{e^x}=0$ e sai com $y=-x+2$. São expressões diferentes: no cálculo do declive havia ainda um $x$ a dividir, e é esse $x$ que mata a parcela toda. Aqui não há, e sobra o $1$.

3.º — escrever a equação pedida

Esta linha vale $1$ ponto por si só nos critérios. Parece de graça, mas todos os anos há quem calcule $m$ e $b$ correctamente e não escreva a equação — a pergunta era «determine uma equação da assíntota», não «calcule os limites».

o processo curto, pela diferença

Há um caminho mais rápido, que também vale a cotação toda desde que justificado. Basta mostrar que a diferença entre $g$ e a candidata a assíntota tende para zero:

A primeira parcela tende para $0$ porque $y=-x+2$ é assíntota ao gráfico de $f$; a segunda tende para $0$ pelo limite notável. Logo a diferença tende para $0$ e $y=-x+3$ é assíntota ao gráfico de $g$.

Mesmo que apresentes o processo dos dois limites (que é o dos critérios), usa este como conferência: leva dez segundos.

o resultado tinha de ser este

Somaste a $f$ uma parcela que tende para $1$. Uma assíntota é aquilo de que o gráfico se aproxima, portanto o gráfico de $g$ aproxima-se do de $f$ subido $1$ unidade. Se $f$ tinha $y=-x+2$, $g$ tem $y=-x+3$: mesmo declive, ordenada na origem mais $1$. Se te tivesse saído um declive diferente de $-1$, havia erro de certeza.

onde se perdem os $14$ pontos

• Não traduzir a reta $r$ em limites. Sem escrever $\lim \frac{f(x)}{x}=-1$ e $\lim \left(f(x)+x\right)=2$ não há por onde continuar: são $4$ pontos, e são a chave de todos os outros.
• O sinal de $b$: calcular $\lim \left(g(x)-x\right)$ em vez de $\lim \left(g(x)+x\right)$. Com $m=-1$, o que se subtrai é $-x$, ou seja, soma-se $x$.
• Confundir as duas fracções: $\frac{x+e^x}{x{e}^x}\to 0$ (no declive) mas $\frac{x+e^x}{e^x}\to 1$ (na ordenada na origem). Distinguir estas duas vale $3$ pontos.
• Assumir que $g$ tem a mesma assíntota que $f$ por «a parcela ser pequena». Ela não é pequena: tende para $1$, não para $0$.
• Não escrever a equação final — $1$ ponto perdido no fim, com o trabalho todo feito.
• Falar de assíntota em $-\infty$: o domínio é ${\mathbb{R}}^{+}$, só existe o ramo $x\to +\infty$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um enunciado te der uma assíntota de uma função desconhecida, ele está a dar-te dois limites disfarçados. Escreve-os na folha logo à cabeça, antes de olhar para o resto: $\lim \frac{f(x)}{x}=m$ e $\lim \left(f(x)-mx\right)=b$.

E fixa a regra de composição: se $h(x)=f(x)+u(x)$ com $\underset{x\to +\infty }{\lim }u(x)=k$ finito, então a assíntota de $h$ é a de $f$ deslocada $k$ para cima. Aqui $k=1$, e é toda a história do item.