Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 3.(AE2023), resolvido

Este item mede uma propriedade só do modelo normal: a curva é simétrica em relação ao valor médio, e por isso a média parte a área total em duas metades iguais de $50\%$ .

Nota o que não te dão: o desvio padrão. Isso é um sinal — o item foi construído para se resolver sem ele, apenas com a simetria e com uma subtracção de áreas.

nomear a variável e arrumar o que se sabe

Seja $X$ a variável aleatória que dá o preço, em euros, de uma refeição nessa cantina. Sabe-se que $X$ segue distribuição normal de valor médio $\mu =7$ .

Do enunciado retiras uma probabilidade: $P(X>9)=12\%$ .

1.º — usar a simetria para obter a metade direita

Numa distribuição normal, o valor médio coincide com a mediana e com o eixo de simetria da curva. Logo:

Esta é a informação que o enunciado não escreve mas te oferece de graça — e sem ela o item não fecha.

2.º — ver o intervalo pedido como uma diferença de áreas

A zona $X>7$ é composta por duas partes que não se sobrepõem: a faixa $7<X<9$ e a cauda $X>9$ .

Daqui tira-se o que se quer, por subtracção:

A opção correcta é a (B).

o número tem de caber na metade

A faixa pedida está toda dentro da metade direita da curva, logo a sua probabilidade tem de ser menor do que $50\%$ . $38\%$ cabe; $44\%$ também caberia, mas $68\%$ não — e essa podias eliminar sem fazer conta nenhuma.

de onde vem cada opção errada

• (A) $24\%$ — é $2\times 12\%$ . Sai de usar a simetria no sítio errado: responder $P(X<5)+P(X>9)$ , isto é, as duas caudas simétricas, em vez da faixa central pedida.
• (C) $44\%$ — é $50\%-6\%$ , ou seja, $50\%-\frac{12\%}{2}$ . Sai de partir ao meio a cauda de $12\%$ , como se o $12\%$ dado já fosse o total das duas caudas.
• (D) $68\%$ — é o valor decorado da regra empírica, $P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 68\%$ , aplicado sem verificar nada. Aqui não se sabe o desvio padrão, e nada garante que $9=\mu +\sigma$ ; além disso o intervalo pedido só tem um dos lados, não os dois.

onde é que se perdem pontos

• Não reconhecer que $P(X>\mu )=50\%$ e ficar bloqueado por «falta o desvio padrão».
• Somar em vez de subtrair: $50\%+12\%=62\%$ .
• Aplicar as percentagens decoradas ($68\%$ , $95\%$ , $99,7\%$) sem confirmar que os extremos do intervalo são mesmo $\mu \pm \sigma$ , $\mu \pm 2\sigma$ ou $\mu \pm 3\sigma$ .
• Confundir $P(X>9)$ com $P(X<9)$ e partir de $88\%$ .
• Duplicar por simetria um intervalo que não é simétrico em relação a $\mu$ .

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um item do modelo normal te dá o valor médio, uma probabilidade de cauda e não te dá o desvio padrão, a resolução é sempre de áreas: desenha a curva, marca $\mu$ , sombreia o que te pedem e escreve-o como soma ou diferença de zonas conhecidas. As duas peças que usas quase sempre são $P(X>\mu )=P(X<\mu )=50\%$ e $P(\overline{X})=1-P(X)$ .