Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 11, resolvido

Este item vive de uma só ideia, e é ela que o governa: multiplicar um número complexo por $i$ é rodar o seu afixo $\frac{\pi }{2}$ radianos, no sentido positivo (contrário ao dos ponteiros do relógio), em torno da origem. O módulo não muda; só o argumento é que sobe $\frac{\pi }{2}$ .

Repara que a figura não está cotada: não sabes onde exactamente está $P$ , nem onde exactamente estão $A$ , $B$ , $C$ e $D$ . Logo, a pergunta não é «qual é o ponto?», é «em que quadrante tem de cair o afixo de $iz$ ?». O quadrante é o que a figura te deixa decidir sem medir nada.

1.º — escrever $iz$ na forma exponencial

O enunciado dá $z=e^{i\theta }$ . Daí lês duas coisas de uma vez: $|z|=1$ e $\arg (z)=\theta$ .

A unidade imaginária escreve-se também nessa forma: $i=e^{i\frac{\pi }{2}}$ , porque $i$ tem módulo $1$ e argumento $\frac{\pi }{2}$ (o afixo de $i$ é o ponto $(0,1)$ , sobre o semieixo positivo dos imaginários).

O produto na forma exponencial multiplica os módulos e soma os argumentos:

É este passo que transforma um problema de figura num problema de desigualdades — e é por isso que se faz primeiro, antes de olhar para os pontos.

2.º — enquadrar o argumento de $iz$

Sabes que $\theta \in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ , ou seja, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ . Somas $\frac{\pi }{2}$ aos três membros:

Um argumento estritamente entre $\frac{\pi }{2}$ e $\pi$ coloca o afixo no segundo quadrante, e fora dos eixos (as desigualdades são estritas, logo $\theta +\frac{\pi }{2}$ nunca chega a valer $\frac{\pi }{2}$ nem $\pi$ ).

Repara no que isto também diz sobre $z$ : como $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ , o afixo $P$ está no primeiro quadrante — e é isso que a figura mostra. A rotação leva-o do primeiro para o segundo quadrante.

ler a figura

Dos quatro pontos apresentados, $A$ está no primeiro quadrante, $C$ no quarto e $D$ no terceiro. Só $B$ está no segundo quadrante.

A resposta é a opção (B).

o módulo confirma

Uma rotação não afasta nem aproxima da origem: $|iz|=|i|\times |z|=1\times 1=1=|z|$ .

Logo, o afixo de $iz$ está exactamente à mesma distância da origem que $P$ . Na figura, $B$ está a uma distância da origem compatível com a de $P$ — mais um sinal de que é ele. $A$ , por exemplo, está visivelmente mais longe da origem do que $P$ , o que sozinho já o exclui.

de onde vem cada opção errada

(A) Ponto $A$ — primeiro quadrante, argumento em $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ , o mesmo intervalo do argumento de $z$ . É o que se obtém quando se trata $i$ como se fosse um número real positivo: multiplicar por um real positivo só estica ou encolhe, não roda. Quem escolhe $A$ mudou a distância à origem e deixou o argumento quieto — é precisamente o contrário do que $i$ faz.

(C) Ponto $C$ — quarto quadrante, argumento em $\left]-\frac{\pi }{2},0\right[$ , ou seja $\theta -\frac{\pi }{2}$ . É o afixo de $-iz=e^{i\left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)}$ : rodou-se $\frac{\pi }{2}$ no sentido negativo. É o erro de quem confunde o sentido da rotação. (Note-se que o quarto quadrante é também onde vive $\bar{z}$ , o conjugado — outra troca que leva ao mesmo sítio.)

(D) Ponto $D$ — terceiro quadrante, argumento em $\left]\pi ,\frac{3\pi }{2}\right[$ , ou seja $\theta +\pi$ . É o afixo de $-z=i^{2}z$ : aplicou-se a rotação duas vezes, ou multiplicou-se por $i^2=-1$ em vez de por $i$ .

onde é que este item se perde

Olhar para a figura antes de fazer a conta. A figura não está cotada e não se mede nada nela; ela serve só para dizer em que quadrante está cada ponto. Quem tenta «ver» a rotação a olho arrisca-se a escolher o ponto que parece estar a 90.º de $P$ .

Esquecer o intervalo de $\theta$ . Se não usares $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ , não consegues fechar o argumento de $iz$ em $\left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ e ficas sem saber o quadrante. O enunciado dá esse intervalo de propósito.

Trocar o sentido da rotação. Multiplicar por $i$ soma $\frac{\pi }{2}$ ao argumento; multiplicar por $-i$ subtrai. Fixa o caso mais simples: $i\times 1=i$ , e o afixo de $1$ (sobre o semieixo positivo real) sobe para o semieixo positivo imaginário. Isso é uma rotação para cima, no sentido positivo.

Ler «pode ser» como «é». O enunciado pergunta qual dos pontos pode ser o afixo — porque $\theta$ não está fixado. A única coisa que fica determinada é o quadrante, e é isso que a pergunta quer.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um item te der um complexo na forma $e^{i\theta }$ (ou na forma trigonométrica) e te pedir o afixo de um produto, não passes para a forma algébrica. Escreve o factor também na forma exponencial, soma os argumentos, e enquadra o resultado com as desigualdades que o enunciado te deu. Os factores que valem a pena ter de cor: $i$ roda $+\frac{\pi }{2}$ , $-i$ roda $-\frac{\pi }{2}$ , $-1$ roda $\pi$ , e um real positivo $k$ não roda nada — só multiplica o módulo por $k$ .