Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 3.(AE2018), resolvido

Este item resolve-se com uma lei — as leis de De Morgan — e com a probabilidade do acontecimento contrário. Não há contas: há uma tradução.

O que te dão é a probabilidade de nem $A$ nem $B$ acontecerem. O que te pedem é a probabilidade de pelo menos um deles acontecer. Estas duas coisas são contrárias uma da outra — e é essa a resposta inteira.

1.º — reconhecer os dois acontecimentos como contrários

A lei de De Morgan diz:

Lê-se: «não sair $A$ e não sair $B$» é exactamente o mesmo que «não sair nenhum dos dois», isto é, o contrário de «sair pelo menos um dos dois».

Convém veres isto num diagrama mental: $A\cup B$ é toda a mancha coberta pelos dois conjuntos; o que sobra em $E$ é precisamente a zona que está fora de $A$ e fora de $B$ .

2.º — usar a probabilidade do acontecimento contrário

Para qualquer acontecimento $X$ , $P(\overline{X})=1-P(X)$ , e portanto $P(X)=1-P(\overline{X})$ . Com $X=A\cup B$ :

A opção correcta é a (B).

o resultado é uma probabilidade admissível

$0,6$ está entre $0$ e $1$ , e é maior do que $0,4$ — o que faz sentido, porque «pelo menos um dos dois» é a parte maior do espaço quando o complementar vale só $0,4$ . Repara também que não precisaste de saber $P(A)$ nem $P(B)$ : o item foi montado para se resolver sem isso.

de onde vem cada opção errada

• (A) $0,4$ — é o valor que está no enunciado, copiado tal e qual. Sai de tratar $P(\overline{A}\cap \overline{B})$ como se já fosse a resposta, sem passar ao contrário.
• (C) $0,8$ — sai de $0,4+0,4$ : quem lê $P(\overline{A}\cap \overline{B})=0,4$ como «$P(\overline{A})=P(\overline{B})=0,4$» e depois soma as duas parcelas, como se a união fosse sempre a soma.
• (D) $1$ — sai de assumir que $A$ e $B$ são contrários (ou que cobrem todo o espaço amostral), logo $A\cup B=E$ e $P(A\cup B)=1$ . O enunciado nunca diz isso — diz apenas que são subconjuntos de $E$ .

onde é que se perdem pontos

• Trocar a lei de De Morgan: escrever $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cap B}$ . A negação troca $\cap$ por $\cup$ , sempre.
• Esquecer o passo do contrário e responder $0,4$ .
• Tentar usar $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ e encravar por não ter os valores. A fórmula está certa, mas não é o caminho deste item — só serviria se te dessem $P(A)$ e $P(B)$ .
• Assumir independência ou incompatibilidade que não estão no enunciado.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que num enunciado de probabilidades aparece uma intersecção de contrários ($\overline{A}\cap \overline{B}$) ou uma união de contrários ($\overline{A}\cup \overline{B}$), a primeira coisa a fazer é aplicar De Morgan e ver se o que sobra é o contrário do que te pedem. Na esmagadora maioria dos casos é — e o item resolve-se com $1-p$ .