Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 5, resolvido

O que governa este item não é uma fórmula — é olhar para os dois dados e ver que eles encaixam um no outro. Os dois acontecimentos dados têm ambos $\overline{B}$ na intersecção. Isso não é coincidência: é o caminho inteiro.

1.º — ver que os dois dados partem $\overline{B}$ ao meio

Qualquer resultado de $\overline{B}$ está numa de duas situações, e só numa: ou também está em $A$, ou não está em $A$. Por palavras de conjuntos:

e estes dois acontecimentos são incompatíveis (um exige $A$, o outro exige $\overline{A}$ — não há resultado que esteja nos dois).

2.º — somar, porque incompatíveis somam-se

Para acontecimentos incompatíveis, $P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)$. Logo:

3.º — passar ao acontecimento contrário

O item pergunta $P(B)$, não $P\left(\overline{B}\right)$. Pela regra do acontecimento contrário:

A opção correcta é a (A).

pelas leis de De Morgan e pela probabilidade da união

Se preferires trabalhar com uniões, os dois dados lêem-se assim:

• $P\left(A\cap \overline{B}\right)=P(A)-P(A\cap B)=0,5$;
• $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$ (De Morgan), logo $1-P(A\cup B)=0,3$, ou seja $P(A\cup B)=0,7$.

Da probabilidade da união, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, e como $P(A)-P(A\cap B)=0,5$:

Mesmo resultado, mais contas. Repara que a primeira via não precisou de saber $P(A)$ nem $P(A\cap B)$ — e é por isso que é a via a preferir na prova.

um exemplo concreto que respeita os dados

Constrói um caso à mão: $P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,5$, $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,3$, e reparte os restantes $0,2$ dentro de $B$ como quiseres (por exemplo $P(A\cap B)=0,1$ e $P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,1$). As quatro parcelas somam $1$ e $P(B)=0,1+0,1=0,2$. Bate.

de onde vem cada opção errada

• (B) $0,3$ — é o segundo dado copiado tal e qual: lê-se $P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,3$ e responde-se $0,3$, como se a intersecção com $\overline{A}$ não estivesse lá.
• (C) $0,7$ — é $1-0,3$. Vem de aplicar o contrário só ao segundo dado e parar aí. Esse valor existe e é correcto, mas é $P(A\cup B)$, não $P(B)$.
• (D) $0,8$ — é $0,5+0,3$. É a conta certa parada um passo antes do fim: obtém-se $P\left(\overline{B}\right)=0,8$ e esquece-se o $1-0,8$. É o distrator mais perigoso do item, porque quem o escolhe fez tudo bem menos a última linha.

o que faz falhar este item

• Responder $P\left(\overline{B}\right)$ em vez de $P(B)$. Sublinha na folha o que te é pedido antes de fazer a primeira conta.
• Somar os dois dados sem justificar a incompatibilidade. Aqui a soma só é legítima porque um acontecimento exige $A$ e o outro $\overline{A}$.
• Tentar calcular $P(A)$ e $P(A\cap B)$ separadamente. Não é possível: os dados não chegam para isso, e nem é preciso. Perder tempo a tentar é o que mata o item numa prova com relógio.
• Confundir $\overline{A}\cap \overline{B}$ com $\overline{A\cap B}$. De Morgan diz $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$ — é a união que se complementa.

para reconheceres o próximo item deste tipo

Quando te dão duas probabilidades de intersecções que partilham um dos acontecimentos e diferem só no outro e no seu contrário, tens uma partição disfarçada: somas as duas e obténs a probabilidade do acontecimento partilhado. Depois lê outra vez a pergunta — muitas vezes o que se pede é o contrário daquilo que acabaste de obter.