Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 14, resolvido

Item de demonstração: não há número para descobrir, há uma existência para garantir. E quando o que se pede é «prove que existe pelo menos um», em Matemática A do 12.º ano o instrumento é quase sempre o mesmo — o teorema de Bolzano-Cauchy.

traduzir a frase geométrica para uma equação

A bissetriz do primeiro quadrante é a reta de equação $y=x$. Um ponto do gráfico de $h$ tem coordenadas $(x,h(x))$. Esse ponto está na bissetriz quando a ordenada é igual à abcissa:

Provar o enunciado é, portanto, provar que esta equação tem, pelo menos, uma solução em $[0,a]$. Esta tradução é uma etapa de 2 pontos e é onde o item se ganha ou se perde: sem ela não há por onde começar.

1.º — construir a função auxiliar

Bolzano-Cauchy fala de uma função tomar um valor intermédio; na forma que usas para existência de zeros, fala de a função ter um zero. Como a tua equação é $h(x)=x$ e não $\text{algo}=0$, passas tudo para o mesmo lado e dás nome ao que fica:

Assim, $h(x)=x⟺f(x)=0$: a solução que procuras é um zero de $f$. Mais 2 pontos.

2.º — $f$ é contínua em $[0,a]$

É a hipótese que o teorema exige, e sem ela nada feito.

$h$ é contínua em $[0,a]$ (dado do enunciado) e a função $x\mapsto x$ é contínua em $\mathbb{R}$ por ser polinomial. A diferença de duas funções contínuas é contínua, logo $f$ é contínua em $[0,a]$.

2 pontos. O critério é generoso aqui: se apenas referires que $f$ é contínua, a etapa conta como cumprida — mas escrever o porquê não custa uma linha.

3.º — o sinal nos extremos, e é aqui que entra o contradomínio

Repara no dado que ainda não usaste: o contradomínio de $h$ é $[0,a]$. Isso significa que, para qualquer $x$ do domínio,

É esta desigualdade que faz o item funcionar. Aplica-a nos dois extremos.

Em $x=0$: $f(0)=h(0)-0=h(0)$. Como $h(0)\ge 0$, vem

Em $x=a$: $f(a)=h(a)-a$. Como $h(a)\le a$, vem $h(a)-a\le 0$, ou seja,

São 2 pontos cada, e note-se que as desigualdades não são estritas — $h(0)$ pode ser exactamente $0$, e $h(a)$ pode ser exactamente $a$.

4.º — separar os casos, porque as desigualdades são largas

Bolzano-Cauchy na sua forma corrente exige sinais estritamente contrários: $f(0)\times f(a)<0$. Como aqui só tens $\ge$ e $\le$, tens de tratar à parte os casos em que algum deles é zero. Esta separação é uma etapa pontuada por si (2 pontos) e é a que quase toda a gente esquece.

Caso 1 — $f(0)=0$. Então $h(0)=0$ e o ponto $(0,0)$ pertence ao gráfico de $h$ e à bissetriz. Está provado.

Caso 2 — $f(a)=0$. Então $h(a)=a$ e o ponto $(a,a)$ pertence ao gráfico de $h$ e à bissetriz. Está provado.

Caso 3 — $f(0)>0$ e $f(a)<0$. É o único que sobra, e é aqui que o teorema faz o trabalho.

5.º — aplicar Bolzano-Cauchy no caso que sobra

No caso 3 tens as três hipóteses todas: $f$ contínua no intervalo fechado $[0,a]$, e $f(a)<0<f(0)$. O teorema de Bolzano-Cauchy garante então que $f$ toma, em $]0,a[$, todos os valores entre $f(a)$ e $f(0)$ — em particular o valor $0$.

E $f(c)=0⟺h(c)-c=0⟺h(c)=c$. Logo o ponto $(c,h(c))=(c,c)$ pertence ao gráfico de $h$ e à bissetriz do primeiro quadrante.

Como os três casos esgotam todas as possibilidades, em qualquer deles existe pelo menos um ponto nas condições pedidas. Fica provado. Últimos 2 pontos.

o desenho que torna isto óbvio

Pensa na caixa quadrada $[0,a]\times [0,a]$. O gráfico de $h$ está todo dentro dela (é o que o contradomínio diz), começa algures no lado esquerdo e acaba algures no lado direito. A bissetriz atravessa a caixa de canto a canto. Uma curva contínua que vai de um lado ao outro não consegue passar por cima dessa diagonal sem lhe tocar — é exactamente isso que a demonstração escreve em linguagem de teorema.

onde é que se perdem pontos

• Aplicar o teorema a $h$ em vez de $f$. $h$ não tem de ter zeros nem de mudar de sinal — é até não-negativa. A função auxiliar não é um truque de estilo: é o que torna o teorema aplicável.
• Não usar o contradomínio. É o único sítio de onde saem $h(0)\ge 0$ e $h(a)\le a$. Quem só usa o domínio fica sem argumento.
• Saltar os casos $f(0)=0$ e $f(a)=0$ e aplicar Bolzano com desigualdades largas. São 2 pontos perdidos, e é uma falha lógica real: nesses casos o teorema, na forma com sinais estritos, não se aplica.
• Não referir a continuidade de $f$. É hipótese do teorema; sem a enunciar, a conclusão não está justificada.
• Concluir «existe $c$ tal que $f(c)=0$» e parar. Falta a última tradução: voltar a $h(c)=c$ e dizer que o ponto $(c,c)$ está na bissetriz. O item pergunta por um ponto do gráfico, não por um zero de uma função auxiliar.
• Escrever intervalo aberto na continuidade. O teorema pede $f$ contínua em $[0,a]$ fechado; é nos extremos que avalias os sinais.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Prove que existe pelo menos um...» $\Rightarrow$ Bolzano-Cauchy, e o guião é sempre este: traduzir para uma equação $\to$ passar tudo para um lado e criar $f$ $\to$ afirmar a continuidade $\to$ avaliar os sinais nos extremos $\to$ concluir. E guarda esta em particular: a equação $h(x)=x$ (um ponto fixo) resolve-se sempre com $f(x)=h(x)-x$.