Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 9.(AE2023), resolvido

O que governa este item é o método da bissecção: partes de um intervalo onde sabes que existe um zero e cortas-o ao meio repetidamente, ficando sempre com a metade onde a função muda de sinal. Cada corte reduz a amplitude a metade, e o ponto médio do último intervalo é a aproximação — com erro que não passa de metade dessa amplitude.

o critério de paragem, decidido antes de começar

O enunciado pede erro inferior a $0,1$. Se o intervalo final tiver amplitude $A$ e tomares o ponto médio, ficas a uma distância máxima de $\frac{A}{2}$ do zero. Logo a condição de paragem é

Decide isto agora, não no fim: é ele que te diz quantos cortes precisas de fazer, e escrevê-lo é uma etapa pontuada ($2$ pontos).

Partes de $\left]1,2\right[$, que tem amplitude $1$. Depois de $1$ corte: $0,5$. De $2$: $0,25$. De $3$: $0,125<0,2$. Três cortes chegam — e são exactamente as três primeiras etapas do critério de classificação.

1.º — primeiro corte — o ponto médio de $\left]1,2\right[$ é $1,5$

A função é contínua em $\left]0,+\infty \right[$ e tem um zero em $\left]1,2\right[$: é isso que o enunciado te garante e que autoriza o método. Calcula $f$ nos extremos e no meio:

Como $f(1)<0<f(1,5)$ e $f$ é contínua, o zero está em $\left]1;1,5\right[$ (amplitude $0,5$, ainda demasiado grande). $3$ pontos.

2.º — segundo corte — o ponto médio de $\left]1;1,5\right[$ é $1,25$

O sinal de $f(1,25)$ é igual ao de $f(1)$, portanto o zero não está entre $1$ e $1,25$: está em $\left]1,25;1,5\right[$, onde $f(1,25)<0<f(1,5)$. Amplitude $0,25$ — ainda não chega. $3$ pontos.

3.º — terceiro corte — o ponto médio de $\left]1,25;1,5\right[$ é $1,375$

Agora o sinal é positivo, igual ao de $f(1,5)$, por isso a metade a guardar é a da esquerda: $f(1,25)<0<f(1,375)$, e o zero está em $\left]1,25;1,375\right[$. $3$ pontos.

4.º — verificar a paragem e apresentar a aproximação

A amplitude é $1,375-1,25=0,125$, e $0,125<0,2$: a condição que fixaste no início está cumprida. Tomas o ponto médio:

O erro é, no máximo, $\frac{0,125}{2}=0,0625$, que é inferior a $0,1$. A aproximação pedida é $1,3125$.

três casas decimais nos cálculos intermédios

O enunciado manda conservar pelo menos três casas decimais nos arredondamentos intermédios. Isso não é um capricho: com uma só casa, $f(1,375)\approx 0,1$ ficaria demasiado perto de zero para decidires o sinal com segurança. Guarda as casas e arredonda apenas o que escreves. O valor final, $1,3125$, é exacto — é um ponto médio, não um arredondamento.

qualquer ponto do último intervalo, com justificação

A nota do critério de classificação aceita qualquer valor de $\left]1,3125;1,375\right]$ desde que justificado. A razão é que o zero está em $\left]1,25;1,375\right[$, e um ponto $c$ desse intervalo dista dele, no máximo, $\max (c-1,25,1,375-c)$; para $c$ até $1,375$ isso ainda é inferior a $0,1$ desde que $c>1,275$. O ponto médio é a escolha segura — é a única que não te obriga a escrever essa justificação extra.

confirma o sinal na calculadora

Com a calculadora gráfica, o zero de $f$ anda por $1,3295$. A tua aproximação, $1,3125$, dista $0,017$ — bem dentro do $0,1$ pedido. Mas repara: essa leitura gráfica não é resposta. O enunciado exige o método da bissecção, e uma resposta obtida só pela função zero da calculadora não cumpre as etapas do critério.

onde este item come pontos

• Não mostrar os sinais. O que se pontua é escrever $f(1)<0<f(1,5)$, e assim por diante. Só dizer «cortei três vezes» não vale.
• Guardar a metade errada. Guarda-se sempre a metade em cujos extremos $f$ muda de sinal. Se os dois valores tiverem o mesmo sinal, escolheste mal.
• Parar cedo de mais. Com o intervalo $\left]1,25;1,5\right[$, de amplitude $0,25$, o erro do ponto médio pode chegar a $0,125>0,1$. É preciso o terceiro corte.
• Confundir amplitude com erro. O erro do ponto médio é metade da amplitude. A condição é amplitude $<0,2$, não amplitude $<0,1$.
• Apresentar um extremo do intervalo em vez do ponto médio (por exemplo $1,25$), o que pode dar erro superior a $0,1$.
• Arredondar de mais nos cálculos intermédios, contra a instrução expressa das três casas decimais.
• Responder só com o zero dado pela calculadora, sem nenhum corte. O método pedido é o da bissecção.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Em qualquer bissecção, converte o erro pedido em amplitude máxima do intervalo antes de fazer contas: $\text{erro}<\epsilon ⟺\text{amplitude}<2\epsilon$. A partir daí, o número de cortes lê-se de imediato, porque cada corte divide a amplitude por $2$: de amplitude $1$ chegas a $0,125$ em três cortes. Saber quantos cortes precisas impede-te de parar cedo e de fazer contas a mais.