Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 4.2, resolvido

Este item é de aplicação directa de uma fórmula — a equação da superfície esférica — mas essa fórmula precisa de duas coisas que não te são dadas: o centro $A$ e o raio. Praticamente toda a cotação está em obter essas duas coisas.

A fórmula é:

com centro $(a,b,c)$ e raio $r$ . Como a superfície passa em $F$ , o raio é a distância de $A$ a $F$ .

o que se sabe do sólido, e porquê

Vale a pena arrumar os dados antes de calcular:

• $A$ pertence ao eixo $Ox$ , logo $A(a,0,0)$ : ordenada e cota nulas;
• $B$ pertence ao eixo $Oy$ , logo $B(0,b,0)$ ;
• $C(0,6,4)$ e $G(6,9,0)$ ;
• a reta $DH$ é $(x,y,z)=(2,-3,4)+k(1,3,0)$ , $k\in \mathbb{R}$ .

No paralelepípedo $[ABCDEFGH]$ , as faces $[ABCD]$ e $[EFGH]$ são opostas e as arestas que as ligam são $[AF]$ , $[BG]$ , $[CH]$ e $[DE]$ . Em particular, $[AD]$ é uma aresta vertical (paralela ao eixo $Oz$ ): $A$ está na base, $D$ está no topo, e ambos têm a mesma abcissa e a mesma ordenada.

1.º — determinar o ponto $A$ — 1.º processo, pela reta $DH$

Como $D$ está sobre a reta $DH$ , as suas coordenadas são da forma

para algum $k\in \mathbb{R}$ . Repara que a cota é sempre $4$ : a reta é horizontal, ao nível do topo do sólido (é a mesma cota de $C$ ).

Falta descobrir qual dos pontos desta reta é o $D$ . É aqui que entra a aresta vertical: $A$ está no eixo $Ox$ , logo tem ordenada $0$ ; e $D$ tem a mesma ordenada de $A$ . Então:

Substituindo $k=1$ :

E, descendo à base (cota $0$ ) sem mexer na abcissa nem na ordenada:

Esta etapa vale $5$ dos $14$ pontos — é pontuada por si, mesmo que o resto corra mal.

determinar o ponto $A$ — 2.º processo, pela reta $AG$

O critério de classificação admite um segundo caminho, e convém conheceres os dois.

Na base do paralelepípedo, $[ABGF]$ é um retângulo, e $[AG]$ é uma das suas diagonais. Ora, no topo, $[DH]$ é a diagonal correspondente do retângulo $[DCHE]$ . Como as duas faces são paralelas e sobrepostas na vertical, as diagonais $[AG]$ e $[DH]$ são paralelas. Logo $\vec{u}(1,3,0)$ , que dirige $DH$ , também dirige $AG$ .

Como se conhece $G(6,9,0)$ , uma equação vetorial da reta $AG$ é

e um ponto genérico desta reta tem coordenadas $(6+k,9+3k,0)$ .

Impondo que $A$ tem ordenada nula (está no eixo $Ox$ ):

Logo a abcissa é $6+(-3)=3$ e obtém-se, outra vez, $A(3,0,0)$ .

2.º — determinar o ponto $F$

$F$ é o vértice da base ligado a $A$ pela aresta $[AF]$ . A maneira mais curta de lá chegar é por vetores.

Os segmentos $[DF]$ e $[CG]$ são diagonais de duas faces opostas do paralelepípedo — $[DF]$ na face $[ADEF]$ e $[CG]$ na face $[BCHG]$ . Duas faces opostas são geometricamente iguais e obtêm-se uma da outra por translação, logo $[DCGF]$ é um paralelogramo e os vetores $\overrightarrow{DF}$ e $\overrightarrow{CG}$ são o mesmo vetor livre. Então:

A cota de $F$ dá $0$ , como tinha de dar: $F$ está na base, tal como $A$ , $B$ e $G$ . É um bom controlo: se te sair cota diferente de zero, erraste algures.

3.º — calcular o raio

O raio é a distância entre o centro $A(3,0,0)$ e o ponto $F(9,3,0)$ , pelo qual a superfície passa:

Como o item é sem calculadora, deixa-se $\sqrt{45}$ (ou, se preferires simplificar, $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$ ). Nunca uma dízima.

Esta etapa vale $6$ pontos.

o raio sem passar por $F$

Há um atalho que o critério também aceita e que dispensa calcular $F$ . Na base, $[ABGF]$ é um retângulo, e num retângulo os lados opostos têm o mesmo comprimento. Os segmentos $[AF]$ e $[BG]$ são lados opostos, logo

Falta $B$ . Como $[BC]$ é uma aresta vertical e $C(0,6,4)$ , o ponto $B$ tem a mesma abcissa e a mesma ordenada de $C$ , com cota nula: $B(0,6,0)$ — o que é coerente com $B$ estar no eixo $Oy$ . Então:

Mesmo raio, e só se usaram dados dados de origem.

escrever a equação pedida

Centro $A(3,0,0)$ e raio $r=\sqrt{45}$ . Na fórmula:

O segundo membro é $r^2$ , não $r$ . É por isso que a raiz desaparece: ${\left(\sqrt{45}\right)}^2=45$ . E $(y-0{)}^2$ escreve-se simplesmente $y^2$ .

Esta última etapa vale $3$ pontos — quem calcula tudo bem e não escreve a equação final perde-os.

confirmar que $F$ está mesmo na superfície

Substitui $F(9,3,0)$ na equação obtida:

Confirma também com $A$ : o centro não pertence à superfície, e de facto $(3-3{)}^2+0+0=0\ne 45$ .

onde é que se perde este item

• Perder o sinal do $-3$ na equação da reta $DH$ . Se leres $(2,3,4)$ , a equação $3+3k=0$ dá $k=-1$ e $D(1,0,4)$ — e todo o resto sai errado.
• Não justificar porque é que $D$ tem ordenada nula. É a aresta $[AD]$ ser vertical e $A$ estar no eixo $Ox$ ; sem isso, não há razão para impor $-3+3k=0$ .
• Confundir $r$ com $r^2$ e escrever $(x-3{)}^2+y^2+z^2=\sqrt{45}$ , ou $=45^2$ . O segundo membro é sempre o quadrado do raio.
• Trocar o sinal no centro: com $a=3$ , o fator é $(x-3{)}^2$ e não $(x+3{)}^2$ .
• Esquecer o termo em $z$ . Em ${\mathbb{R}}^3$ a equação tem três parcelas, mesmo quando a cota do centro é zero — $z^2$ tem de lá estar.
• Usar a calculadora para converter $\sqrt{45}$ numa dízima. O item proíbe-o e, de qualquer modo, uma aproximação estragava a equação final.
• Tomar $C$ ou $G$ por $A$ . As coordenadas dadas são de $C$ e $G$ ; $A$ e $F$ têm de ser deduzidos.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Num item de geometria no espaço com um sólido em perspetiva, o trabalho verdadeiro é quase sempre transformar propriedades do sólido em condições sobre coordenadas: «aresta vertical» $\Rightarrow$ mesma abcissa e mesma ordenada; «ponto no eixo $Ox$ » $\Rightarrow$ ordenada e cota nulas; «face retangular» $\Rightarrow$ lados opostos representam o mesmo vetor livre. Escreve estas traduções antes de fazer contas, e o cálculo que sobra é sempre curto.