Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 13.(AE2023), resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaEm alternativa · programa de 2023Verificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2026 · 1.ª fase

13.

Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa.

O item 13.(AE2018) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2018.

O item 13.(AE2023) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2023.

Responda apenas a um dos itens.

13.(AE2023).

Uma agência de viagens pretende organizar um passeio que inclui a visita a uma praia portuguesa.

Para escolher a praia a visitar, a agência realizou uma votação junto de $250$ dos seus clientes, de modo a saber qual destas quatro praias preferiam: praia do Almograve (A); praia do Barril (B); praia do Cabedelo (C); praia da Duquesa (D).

Ao votar, cada cliente preencheu um boletim, no qual ordenou as quatro praias, A, B, C e D, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido com uma certa ordenação corresponde a $1$ voto.

A Tabela 2 apresenta as preferências de $200$ desses $250$ clientes.

Tabela 2

Preferências / Votos	$82$	$24$	$51$	$43$
1.ª	B	C	A	D
2.ª	A	A	D	A
3.ª	C	D	B	C
4.ª	D	B	C	B

Os $50$ clientes restantes votaram todos numa mesma ordenação das quatro praias, colocando a praia B numa posição superior à da praia A.

Concluída a votação, aplicou-se o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada uma das praias, em função do seu lugar na ordem de preferência. Cada praia recebe:

- quatro pontos por cada voto na 1.ª preferência;

- três pontos por cada voto na 2.ª preferência;

- dois pontos por cada voto na 3.ª preferência;

- um ponto por cada voto na 4.ª preferência.

Contabiliza-se a pontuação total de cada uma das praias, e a mais pontuada é considerada a praia preferida pelos clientes da agência de viagens.
Em caso de empate, a tabela de preferências é reestruturada, contemplando-se, em cada coluna, apenas as praias empatadas, que ocuparão a 1.ª e a 2.ª preferências, mantendo-se a mesma ordem. A praia preferida pelos clientes da agência de viagens é a que obtiver maior número de votos na primeira preferência.

Mostre que a praia B não poderá ser a escolhida.

Na sua resposta, apresente:

a pontuação de cada praia, resultante da aplicação do método acima descrito aos votos registados na Tabela 2;
uma justificação para que a praia B não possa ser a escolhida, mesmo incluindo as votações possíveis dos $50$ clientes.

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

Aplicando o método descrito aos $200$ votos registados na Tabela 2, obtém-se:

praia do Almograve (A): $3 \times 82 + 3 \times 24 + 4 \times 51 + 3 \times 43 = 651$ pontos;
praia do Barril (B): $4 \times 82 + 1 \times 24 + 2 \times 51 + 1 \times 43 = 497$ pontos;
praia do Cabedelo (C): $2 \times 82 + 4 \times 24 + 1 \times 51 + 2 \times 43 = 397$ pontos;
praia da Duquesa (D): $1 \times 82 + 2 \times 24 + 3 \times 51 + 4 \times 43 = 455$ pontos.

A diferença entre as pontuações das praias A e B é $651 - 497 = 154$ pontos, a favor da praia A.

Os $50$ clientes restantes votaram todos na mesma ordenação, na qual a praia B ocupa uma posição superior à da praia A. Em cada um desses votos, a praia B recebe, no máximo, $4$ pontos (1.ª preferência) e a praia A recebe, no mínimo, $1$ ponto (4.ª preferência), pelo que a praia B ganha à praia A, no máximo, $4 - 1 = 3$ pontos por voto.

Logo, nos $50$ votos, a diferença máxima entre a pontuação da praia B e a pontuação da praia A é $3 \times 50 = 150$ pontos.

Como $150 < 154$ , a pontuação total da praia A é superior à da praia B, qualquer que seja a ordenação escolhida pelos $50$ clientes, e a diferença entre elas é, no mínimo, $154 - 150 = 4$ pontos, pelo que não há empate entre as duas praias.

Existe, assim, uma praia com pontuação total superior à da praia B, pelo que a praia B não poderá ser a praia escolhida.

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este item é um dos dois itens em alternativa com o número $13$ : o $13. (AE 2023)$ é o de quem seguiu as Aprendizagens Essenciais de 2023. Respondes a este ou ao $13. (AE 2018)$ , nunca aos dois — se responderes aos dois, os critérios mandam classificar apenas a primeira resposta.

O método descrito no enunciado é o método de Borda: cada votante ordena os candidatos e cada lugar na ordenação vale um número fixo de pontos. Antes de contares o que quer que seja, repara na estrutura do que te pedem: há $200$ votos conhecidos e $50$ votos desconhecidos. Para os conhecidos, calculas; para os desconhecidos, não podes calcular — tens de raciocinar pelo pior caso.

1.º — contar os pontos das quatro praias

Cada coluna da Tabela 2 é uma ordenação, e o número no topo diz quantos clientes a escolheram. Para cada praia, percorres as quatro colunas, vês em que lugar ela está, e multiplicas o número de votos dessa coluna pelos pontos do lugar ( $4$ , $3$ , $2$ ou $1$ ).

Almograve (A) — está em 2.ª, 2.ª, 1.ª e 2.ª preferência:

3 \times 82 + 3 \times 24 + 4 \times 51 + 3 \times 43 = 246 + 72 + 204 + 129 = 651

Barril (B) — está em 1.ª, 4.ª, 3.ª e 4.ª preferência:

4 \times 82 + 1 \times 24 + 2 \times 51 + 1 \times 43 = 328 + 24 + 102 + 43 = 497

Cabedelo (C) — está em 3.ª, 1.ª, 4.ª e 3.ª preferência:

2 \times 82 + 4 \times 24 + 1 \times 51 + 2 \times 43 = 164 + 96 + 51 + 86 = 397

Duquesa (D) — está em 4.ª, 3.ª, 2.ª e 1.ª preferência:

1 \times 82 + 2 \times 24 + 3 \times 51 + 4 \times 43 = 82 + 48 + 153 + 172 = 455

Esta etapa vale $8$ pontos, $2$ por praia, e por isso apresentas as quatro, mesmo que a tua justificação só venha a usar A e B. É a fatia maior da cotação e a mais fácil de garantir.

a soma das quatro pontuações

Cada voto distribui $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ pontos pelas quatro praias, logo os $200$ votos distribuem $200 \times 10 = 2000$ pontos. Confere:

651 + 497 + 397 + 455 = 2000

Bate. Faz sempre esta soma — em segundos apanha qualquer engano nas quatro contas, e são $8$ pontos que estão em jogo.

2.º — medir a vantagem da praia A sobre a praia B

Depois dos $200$ votos conhecidos, a praia A lidera e a praia B está em segundo:

651 - 497 = 154

A praia A leva $154$ pontos de vantagem sobre a praia B. Este número é o que decide o item e está cotado com $2$ pontos.

Porquê comparar com A e não com C ou D? Porque para mostrar que B não pode ganhar te basta exibir uma praia que fique sempre à frente dela — e A é a candidata natural, por ser a que está mais à frente.

3.º — o pior caso dos 50 votos que faltam

Sabes duas coisas sobre os $50$ clientes restantes: votaram todos na mesma ordenação, e nessa ordenação a praia B está acima da praia A.

A pergunta certa é: qual é o máximo que B pode recuperar sobre A nesses $50$ votos? Como B está acima de A, B recebe mais pontos do que A em cada voto; a diferença é maior quando B está no lugar mais alto e A no mais baixo:

B em 1.ª preferência: $4$ pontos;
A em 4.ª preferência: $1$ ponto;
diferença máxima por voto: $4 - 1 = 3$ pontos.

Como os $50$ votam todos igual, a recuperação máxima é

3 \times 50 = 150 pontos

Esta etapa vale $3$ pontos. O que a torna uma demonstração, e não um exemplo, é a palavra máxima: qualquer outra ordenação com B acima de A dá a B uma vantagem por voto de $3$ , $2$ ou $1$ pontos — nunca mais do que $3$ . Por isso não tens de percorrer as ordenações uma a uma.

4.º — concluir

A praia A tinha $154$ pontos de vantagem e a praia B recupera, quando muito, $150$ :

150 < 154

Logo, no final dos $250$ votos, a praia A fica sempre à frente da praia B, e fica à frente por, pelo menos,

154 - 150 = 4 pontos

Como a diferença é estritamente positiva, não há sequer empate entre A e B — o critério de desempate descrito no enunciado nunca chega a aplicar-se a este par.

Existe, portanto, uma praia com pontuação superior à da praia B, e a praia B não poderá ser a escolhida. Esta frase final está cotada com $1$ ponto: não a deixes por escrever.

o que tem de aparecer na folha

O enunciado lista explicitamente as duas coisas que a resposta tem de conter: as pontuações das quatro praias e uma justificação válida para todas as votações possíveis dos $50$ clientes. Escreve as contas de cada praia por extenso (é assim que se vê que aplicaste o método) e depois a cadeia dos três números: $154$ , $150$ , e a comparação.

onde se perdem os 14 pontos

Responder também ao $13. (AE 2018)$ . Classifica-se apenas a primeira resposta, mesmo que a segunda esteja melhor. Se começaste o item errado, risca-o de forma inequívoca.
Apresentar só as pontuações de A e de B. As quatro estão cotadas, $2$ cada: são $4$ pontos deitados fora, mesmo com o raciocínio impecável.
Trocar a escala de pontos. São $4$ , $3$ , $2$ , $1$ , de cima para baixo. Quem lê ao contrário obtém quatro números plausíveis e uma conclusão errada — e a soma $2000$ até continua a dar certo, por isso este erro escapa à verificação.
Escolher uma ordenação para os $50$ clientes e concluir a partir dela. O enunciado diz «mesmo incluindo as votações possíveis»: um caso não demonstra nada, é preciso o caso extremo.
Somar $4 \times 50 = 200$ a B e esquecer o que A também ganha. Se B sobe a $697$ e A não mexesse, B ganhava. O que conta é a diferença entre os dois, porque A também recebe pontos nesses $50$ votos.
Parar em «a praia A ganha». O que se pede é que B não pode ser escolhida — a frase de conclusão é uma etapa cotada.
Não excluir o empate. Se a recuperação máxima fosse exactamente $154$ , haveria empate e o critério de desempate entrava em jogo. Dizer que a diferença final é de, pelo menos, $4$ pontos fecha essa porta.

o que fixar

Num item de método de votação, a pergunta «mostre que X não poderá ser o escolhido» pede sempre a mesma estrutura, e é ela que tens de treinar: (1) pontuações com os votos conhecidos; (2) a vantagem do melhor rival sobre X; (3) o ganho máximo de X sobre esse rival nos votos que faltam; (4) comparar os dois números e concluir.

E fixa a ideia que faz o item funcionar: quando não sabes como votam alguns, não tentes adivinhar — calcula o melhor cenário possível para quem queres eliminar. Se nem no melhor cenário ele ganha, ficou provado para todos os cenários.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

Como te correu?

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