Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 13.(AE2018), resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaEm alternativa · programa de 2018Fora do programa actualVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2026 · 1.ª fase

13.

Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa.

O item 13.(AE2018) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2018.

O item 13.(AE2023) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2023.

Responda apenas a um dos itens.

13.(AE2018).

Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

A soma dos quatro últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é $288101$ .

Determine o segundo elemento dessa linha, sabendo também que o quarto elemento da linha seguinte é $287980$ .

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

Sejam $a$ , $b$ , $c$ e $d$ os quatro últimos elementos da linha, ordenados por ordem decrescente, isto é, a linha termina em $\dots, a, b, c, d$ .

O último elemento de qualquer linha do Triângulo de Pascal é $1$ , logo $d = 1$ .

Como cada linha do Triângulo de Pascal é simétrica, $c$ , que é o terceiro elemento a contar do fim, é igual ao segundo elemento dessa linha, ou seja, é o valor pedido.

Pela regra de formação do Triângulo de Pascal, cada elemento é igual à soma dos dois elementos que estão imediatamente acima dele; o quarto elemento da linha seguinte é, por isso, $a + b$ , pelo que

a + b = 287980

Como a soma dos quatro últimos elementos da linha é $288101$ , vem

a + b + c + d = 288101 \Leftrightarrow 287980 + c + 1 = 288101 \Leftrightarrow c = 288101 - 287980 - 1 \Leftrightarrow c = 120

O segundo elemento dessa linha é $120$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este item é um dos dois itens em alternativa com o número $13$ : o $13. (AE 2018)$ é o de quem seguiu as Aprendizagens Essenciais de 2018. Respondes a este ou ao $13. (AE 2023)$ , nunca aos dois — se responderes aos dois, os critérios mandam classificar apenas a primeira resposta.

O item parece pedir-te a linha do Triângulo de Pascal, mas não pede. Repara bem na pergunta: ela quer um elemento, e os dados também são elementos. Tudo se resolve com três propriedades do triângulo e uma subtracção — nunca precisas de saber de que linha se trata.

As três propriedades são:

as pontas valem $1$ , porque $(0 n) = (n n) = 1$ ;
cada linha é simétrica, porque $(k n) = (n - k n)$ ;
cada elemento é a soma dos dois que estão imediatamente acima dele, que é a regra de formação, $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ .

dar nome aos quatro elementos

Segue a designação dos critérios: chama $a$ , $b$ , $c$ e $d$ aos quatro últimos elementos da linha, por ordem decrescente de valor. Como os elementos de uma linha crescem até ao meio e depois decrescem, isso quer dizer que a linha acaba assim:

1, c, b, a, \dots, a, b, c, d

e que o elemento que te pedem — o segundo da linha — está logo a seguir ao $1$ inicial.

1.º — o último elemento é $1$

Qualquer linha do Triângulo de Pascal começa e acaba em $1$ , logo

d = 1

É a etapa mais barata do item, mas está cotada com $1$ ponto e escreve-se numa linha. Não a saltes só por ser evidente.

2.º — a simetria diz-te que $c$ é a resposta

A linha é simétrica: o último elemento é igual ao primeiro, o penúltimo é igual ao segundo, o antepenúltimo é igual ao terceiro.

Ora $c$ é o terceiro a contar do fim, portanto $c$ é igual ao segundo elemento da linha — que é exactamente o que o enunciado pede.

Esta leitura vale $4$ pontos, e é ela que muda o problema de figura: já não tens de descobrir a linha, só de calcular $c$ .

3.º — a regra de formação liga as duas linhas

Falta usar o segundo dado, e é aqui que estão $6$ pontos, a etapa mais cara do item.

Encosta o início da linha ao início da linha seguinte. Como cada elemento é a soma dos dois que estão acima dele, os primeiros elementos da linha seguinte são:

1.º: $1$ ;
2.º: $1 + c$ ;
3.º: $c + b$ ;
4.º: $b + a$ .

Logo o quarto elemento da linha seguinte é $a + b$ , e o enunciado diz que vale $287980$ :

a + b = 287980

Fixa a contagem: o quarto elemento da linha seguinte envolve o terceiro e o quarto elementos da linha de cima, não o primeiro e o segundo. Contar mal aqui é o erro que estraga o item.

4.º — uma subtracção e está feito

A soma dos quatro últimos elementos é $288101$ :

a + b + c + d = 288101

Substitui os dois blocos que já conheces, $a + b = 287980$ e $d = 1$ :

287980 + c + 1 = 288101 \Leftrightarrow c = 288101 - 287980 - 1 = 120

O segundo elemento da linha é $120$ .

como se escreve a resposta

A resposta é um número inteiro, e a frase final tem de dizer o que é esse número: «o segundo elemento dessa linha é $120$ ». Deixar o resultado como um $c = 120$ solto, sem dizer que $c$ é o segundo elemento, deixa a etapa de $4$ pontos por justificar.

confirma com a linha 120

O segundo elemento de uma linha é sempre $(1 n) = n$ , portanto a linha é a do $120$ . Testa o outro dado: o quarto elemento da linha seguinte é

(3 121) = \frac{121 \times 120 \times 119}{6} = 287980

Bate certo. A verificação não é pedida e não dá pontos, mas custa um minuto e confirma o item inteiro.

onde se perdem os 14 pontos

Responder também ao $13. (AE 2023)$ . Classifica-se apenas a primeira resposta. Se começaste o item errado, risca-o de forma inequívoca antes de escrever o outro.
Tentar descobrir a linha. Há quem monte $(0 n) + (1 n) + (2 n) + (3 n) = 288101$ e fique com uma equação do 3.º grau, sem calculadora. Não é preciso: o $n$ nunca aparece na resolução.
Esquecer o $1$ final. «Os quatro últimos elementos» incluem a ponta. Quem soma só $a + b + c$ obtém $121$ em vez de $120$ .
Errar a posição na regra de formação. Achar que o quarto elemento da linha seguinte é $c + b$ (que é o terceiro) dá um valor errado e perde a etapa de $6$ pontos.
Usar a simetria sem a dizer. Se escreves logo «o segundo elemento é $c$ » sem justificar com a simetria da linha, a etapa de $4$ pontos fica por cumprir.
Ir buscar a calculadora. O item proíbe-a, excepto em cálculos numéricos; aqui a única conta é uma subtracção de inteiros.

o que fixar

Quando um item do Triângulo de Pascal te dá dados sobre duas linhas consecutivas, é sempre a regra de formação que os liga, e é aí que está a maior fatia da cotação. E quando pede um elemento perto de uma das pontas, é quase sempre a simetria que transforma o elemento pedido num dos que já tens. As pontas valem $1$ , a linha é simétrica, cada elemento é a soma dos dois de cima — com estas três frases resolves a família toda.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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