Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 15, resolvido

Este é o último item da prova e é, na aparência, o mais assustador: pedem-te um raio em função de um parâmetro, sem um único número no enunciado. Mas o que o governa é uma ideia só, e é geométrica antes de ser algébrica.

Por três pontos não colineares passa uma e uma só circunferência, e o seu centro é o ponto que está à mesma distância dos três. Os teus três pontos são o vértice da parábola e as duas intersecções com a reta $s$ . Portanto o problema é: encontrar o ponto equidistante dos três e medir essa distância.

Tudo o resto é traduzir isto para coordenadas. E há um presente escondido no enunciado que te vai poupar metade do trabalho — a simetria.

os três pontos, em função de $a$

Começa por ter os três pontos escritos. Primeiro o vértice: a parábola tem equação $y=x^2-1$ , que é a parábola $y=x^2$ deslocada uma unidade para baixo. O vértice é

(Se preferires justificar pela expressão: $x^2\ge 0$ para todo o $x$ , logo $f(x)=x^2-1\ge -1$ , com igualdade só em $x=0$ . O mínimo é $-1$ e ocorre em $x=0$ .)

Agora as intersecções com a reta $s$ . Um ponto está na parábola e na reta se satisfizer as duas equações, portanto resolves $f(x)=a$ :

Repara onde entra a condição $a>-1$ , que o enunciado te dá e que não está lá por acaso: ela garante $1+a>0$ , ou seja, garante que a reta corta mesmo a parábola em dois pontos. Se fosse $a=-1$ a reta seria tangente no vértice (um só ponto, e não haveria circunferência); se fosse $a<-1$ não haveria intersecção nenhuma.

Os dois pontos são, então,

Escrever estes três pontos vale, por si só, 4 dos 14 pontos (2 pela resolução da equação, 1 pelas coordenadas de um dos pontos de intersecção, 1 pelo vértice). Mesmo que não consigas acabar o item, escreve-os.

1.º — a simetria dá-te logo a abcissa do centro

Aqui está o presente. Os pontos $P$ e $Q$ têm a mesma ordenada e abcissas simétricas: são simétricos um do outro relativamente ao eixo $Oy$ .

Ora, o centro da circunferência está à mesma distância de $P$ e de $Q$ , logo pertence à mediatriz de $[PQ]$ . E a mediatriz de um segmento com extremos simétricos relativamente ao eixo $Oy$ é... o próprio eixo $Oy$ , de equação $x=0$ .

Conclusão: $c_1=0$ , e o centro é da forma $C(0,c_2)$ . Ficaste com uma incógnita em vez de duas — passaste de um sistema de três equações a três incógnitas para um sistema de duas a duas.

(Podes chegar ao mesmo por cálculo: o ponto médio de $[PQ]$ é $\left(\frac{-\sqrt{1+a}+\sqrt{1+a}}{2},a\right)=(0,a)$ , e a mediatriz é a reta vertical que por ele passa, $x=0$ . Mas a leitura pela simetria é imediata e não gasta linhas.)

2.º — escrever a equação da circunferência e impor as duas passagens

Com o centro em $(0,c_2)$ , a equação reduzida da circunferência de raio $r$ é

Escrever esta equação vale 2 pontos. Agora impõe que os pontos lá estão — é aqui que $c_2$ vai aparecer.

Substituindo $V(0,-1)$ :

Substituindo $Q\left(\sqrt{1+a},a\right)$ , e notando que ${\left(\sqrt{1+a}\right)}^2=1+a$ (a raiz existe, logo o quadrado devolve o radicando):

Este sistema

vale 3 pontos — é a etapa mais cotada do item. Não precisas de substituir o terceiro ponto $P$ : por simetria, se a circunferência de centro no eixo $Oy$ passa por $Q$ , passa automaticamente por $P$ .

3.º — resolver em ordem a $c_2$

Os dois primeiros membros são ambos iguais a $r^2$ , portanto são iguais entre si — e nesse instante o $r$ desaparece, deixando uma equação só com $c_2$ e $a$ :

Desenvolve os dois quadrados. À esquerda, $(-1-c_2{)}^2=(1+c_2{)}^2=1+2c_2+c_2^2$ . À direita, $(a-c_2{)}^2=a^2-2a{c}_2+c_2^2$ :

Os $c_2^2$ cancelam-se dos dois lados — e é essa a razão por que este método funciona: a equação, que parecia de segundo grau em $c_2$ , é afinal do primeiro grau. Cancela também o $1$ :

Põe $2c_2$ em evidência à esquerda e $a$ em evidência à direita:

Aqui está a armadilha do item. Para dividir ambos os membros por $1+a$ tens de garantir que $1+a\ne 0$ — e podes, porque o enunciado te diz $a>-1$ , donde $1+a>0$ . Diz isso por escrito: dividir por uma expressão sem justificar que não é nula é um erro de método.

O centro é $C\left(0,\frac{a}{2}\right)$ .

4.º — obter o raio

O raio é a distância do centro a qualquer um dos três pontos. Escolhe o vértice, que é o mais simples, porque tem a mesma abcissa do centro e a distância reduz-se a uma diferença de ordenadas:

tirar o módulo — e porque é que se pode

Um raio é um número positivo, mas $\left|\frac{a}{2}+1\right|$ ainda tem módulo e a resposta pedida é em função de $a$ — tens de o resolver.

Como $a>-1$ , tem-se $\frac{a}{2}>-\frac{1}{2}$ e portanto

A expressão dentro do módulo é sempre positiva, logo o módulo sai sem trocar o sinal:

Podes apresentar a resposta nesta forma ou na forma equivalente $\frac{a+2}{2}$ — ambas são aceites. O que não podes é deixar o módulo por resolver, nem escrever $-\frac{a}{2}-1$ .

o 2.º processo — o centro como circuncentro

Os critérios aceitam um segundo caminho, mais geométrico, e vale a pena conhecê-lo porque em provas com figuras é muitas vezes o mais rápido.

Os três pontos $V$ , $P$ e $Q$ definem um triângulo, e a circunferência que passa pelos três é a circunferência circunscrita a esse triângulo. O seu centro é o circuncentro, que é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Basta intersectar duas mediatrizes.

A primeira já a tens: a mediatriz de $[PQ]$ é a reta $x=0$ .

Para a segunda, toma o lado $[VQ]$ , com $V(0,-1)$ e $Q\left(\sqrt{1+a},a\right)$ .

• O ponto médio é $M\left(\frac{\sqrt{1+a}}{2},\frac{a-1}{2}\right)$ .
• O declive de $VQ$ é $\frac{a-(-1)}{\sqrt{1+a}-0}=\frac{1+a}{\sqrt{1+a}}=\sqrt{1+a}$ .
• A mediatriz é perpendicular a $VQ$ , logo tem declive $-\frac{1}{\sqrt{1+a}}$ , e passa em $M$ :

Intersectando com $x=0$ , obténs imediatamente $y=\frac{a}{2}$ , ou seja, o mesmo centro $C\left(0,\frac{a}{2}\right)$ , e daí o mesmo raio $\left|\frac{a}{2}-(-1)\right|=\frac{a}{2}+1$ .

Se usares o lado $[VP]$ em vez de $[VQ]$ , a mediatriz sai $y=\frac{1}{\sqrt{1+a}}x+\frac{a}{2}$ — declive simétrico, mesma ordenada na origem, mesmo ponto de encontro. Coerente com a simetria.

experimenta dois valores de $a$

Uma fórmula com letras verifica-se pondo números. Escolhe $a=0$ :

• a reta é $y=0$ , isto é, o eixo $Ox$ ; as intersecções são $(-1,0)$ e $(1,0)$ ; o vértice é $(0,-1)$ ;
• a tua fórmula dá $r=\frac{0}{2}+1=1$ , com centro em $(0,0)$ ;
• confere: a distância da origem a $(1,0)$ é $1$ e a distância da origem a $(0,-1)$ é $1$ . ✔

Agora $a=3$ :

• as intersecções são $(\pm 2,3)$ ; o centro é $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ e a fórmula dá $r=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$ ;
• confere: $\overline{CV}=\left|\frac{3}{2}+1\right|=\frac{5}{2}$ e $\overline{CQ}=\sqrt{2^2+{\left(3-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$ . ✔

Repara ainda que a fórmula tem sentido nos extremos: quando $a\to -1^{+}$ , o raio tende para $\frac{1}{2}$ — a circunferência encolhe até ao pequeno círculo que encosta ao vértice; e quando $a$ cresce, o raio cresce com ele.

onde se perdem pontos neste item

• Desistir por haver um parâmetro. É o erro mais caro de todos e não é matemático. Trata o $a$ como se fosse um número: todas as contas que farias com um número fazem-se com ele.
• Escrever $x=\sqrt{1+a}$ e esquecer a solução negativa. Perdes o ponto $P$ — e, pior, perdes a simetria que te dava $c_1=0$ de graça.
• Escrever $\sqrt{a}+1$ ou $\sqrt{a-1}$ em vez de $\sqrt{1+a}$ . De $x^2=1+a$ vem $x=\pm \sqrt{1+a}$ ; a raiz aplica-se à soma inteira.
• Não justificar $1+a\ne 0$ antes de dividir. É o passo em que a condição $a>-1$ deixa de ser decoração e passa a ser necessária.
• Deixar a resposta com módulo, ou tirar o módulo sem dizer porquê. O item pede o raio em função de $a$ : a resposta final é uma expressão em $a$ , limpa.
• Tentar impor os três pontos ao mesmo tempo, com centro $(c_1,c_2)$ genérico. Funciona, mas dá um sistema de três equações a três incógnitas com quadrados por todo o lado, e é onde a maioria se perde no tempo. A simetria resolve $c_1$ numa linha.
• Confundir o raio com a distância do centro à reta $s$ . A reta $s$ é secante à circunferência, não tangente; a distância a ela não é o raio.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que te pedirem a circunferência que passa por três pontos, o guião é este e não muda:

1. escreve os três pontos em coordenadas (é onde estão os primeiros pontos da cotação);
2. procura simetria — dois pontos com a mesma ordenada e abcissas simétricas põem o centro no eixo $Oy$ ; dois pontos com a mesma abcissa põem-no numa horizontal. Cada simetria encontrada mata uma incógnita;
3. escreve a equação reduzida ${\left(x-c_1\right)}^2+{\left(y-c_2\right)}^2=r^2$ e substitui dois pontos;
4. iguala as duas expressões de $r^2$ — é o que faz desaparecer o $r$ e os termos quadráticos nas incógnitas do centro, deixando uma equação linear;
5. calcula o raio como distância do centro ao ponto mais cómodo (o que partilha uma coordenada com o centro).

E guarda a leitura geométrica por trás de tudo: o centro da circunferência que passa por vários pontos está na mediatriz de cada par deles. É por isso que o centro é o circuncentro do triângulo — e é por isso que a simetria do passo 2 funciona sempre.