Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 12, resolvido

Este item não te pede para resolver a equação à mão — a expressão de $C$ tem uma potência de expoente $25$ e não há técnica algébrica que a resolva. O que ele pede é que traduzas o problema numa equação e que a resolvas graficamente na calculadora, mostrando o referencial e o ponto. É a família de itens em que a montagem vale mais do que o resultado: dos $14$ pontos, $6$ estão antes de tocares na máquina e só $2$ estão no número final.

1.º — calcular o total das quantias depositadas

A Inês deposita $500$ euros no início de cada ano, durante $25$ anos. O total depositado é

Repara que este valor não depende da taxa de juro: é só a soma dos depósitos. É a base sobre a qual se vai calcular o acréscimo.

2.º — traduzir o «acréscimo de 20%»

Aqui está a leitura que decide o item, e vale $2$ pontos. O acréscimo de $20\%$ é relativamente ao total das quantias depositadas, não relativamente a outra coisa qualquer. Logo o capital que a Inês quer ter no fim é

3.º — escrever a equação

O capital ao fim dos $25$ anos é $C(j)$ . Querer que esse capital seja $15000$ euros é escrever

Esta linha vale $3$ pontos e é a única coisa que os critérios exigem por escrito antes da calculadora. A nota 1 é clara: sem equação nenhuma, esta etapa vale $0$ pontos — e não vale a pena ir directo ao gráfico.

pôr as duas funções na calculadora

Resolver $C(j)=15000$ graficamente faz-se com duas funções, e é o processo que os critérios esperam:

• $y_1=500\left(1+\frac{100}{x}\right)\left({\left(1+\frac{x}{100}\right)}^{25}-1\right)$ , que é $C$ com $x$ no lugar de $j$ ;
• $y_2=15000$ , que é uma recta horizontal.

A solução da equação é a abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos.

Duas coisas a acertar na janela, e cada uma vale $1$ ponto pela negativa (notas 2 e 3):

• respeitar o domínio: $j>0$ , portanto $x_{\min }⩾0$ . Deixar a janela entrar nos negativos custa $1$ ponto;
• desenhar o referencial na folha, com os eixos identificados e as escalas que usaste. Um esboço solto, sem referencial, custa outro ponto.

Uma janela que funciona: $x\in [0,3]$ e $y\in [12000,18000]$ . O $y_{\min }$ não é arbitrário — quando $j$ tende para $0$ , $C(j)$ tende para $12500$ , que é o capital sem juro nenhum; abaixo disso não há gráfico para ver.

4.º — ler a abcissa do ponto de interseção

Com a função da calculadora que calcula interseções, obténs o ponto de coordenadas aproximadas

Assinala-o no teu esboço — é uma etapa cotada, com $1$ ponto, e assinalar significa marcar o ponto e escrever as suas coordenadas ou, pelo menos, a abcissa.

como se escreve o resultado

O enunciado pede o valor arredondado às milésimas: três casas decimais. O valor é $1,375$ , e neste caso as três casas saem certinhas.

E a unidade: $j$ está em percentagem, por definição do enunciado («taxa de juro anual de $j\%$»). A resposta é uma taxa de $1,375\%$ — não $1,375$ nem $0,01375\%$ .

O enunciado diz também que não tens de justificar a validade do resultado obtido na calculadora: não percas tempo a provar que a solução é única.

o número faz sentido?

Faz. Ao fim de $25$ anos a Inês quer ganhar $2500$ euros sobre $12500$ depositados — e os depósitos mais antigos rendem $25$ anos, os mais recentes quase nada. Um ganho de $20\%$ espalhado por um quarto de século corresponde mesmo a uma taxa anual pequena, da ordem da unidade. Se te tivesse saído $13\%$ ou $0,01\%$ , havia erro na montagem.

onde se perdem os 14 pontos

• Calcular o acréscimo sobre o valor errado. Quem faz $20\%$ sobre $500$ , ou sobre $C(j)$ , escreve a equação errada e perde as etapas seguintes todas.
• Não escrever a equação. A nota 1 é explícita: sem equação, $0$ pontos nessa etapa. Mesmo que o gráfico esteja perfeito.
• Não desenhar o referencial. Um esboço dos gráficos sem eixos custa $1$ ponto na etapa de $5$ .
• Não respeitar o domínio. Mostrar a função para $x⩽0$ custa outro ponto: o enunciado fixa $j>0$ .
• Não assinalar o ponto. É $1$ ponto só por si, e perde-se por distracção.
• Arredondar mal. Às milésimas são três casas: $1,38$ ou $1,4$ não servem, e os critérios gerais tiram um ponto ao resultado final que não respeita a forma pedida.
• Esquecer o símbolo de percentagem na frase de resposta.

o que fixar

Quando o enunciado diz «recorrendo à calculadora», «apresente uma equação» e «assinale o(s) ponto(s) relevante(s)», está a dizer-te onde estão os pontos: na tradução do problema em equação, no referencial com o domínio respeitado, e no ponto marcado. O número final é a fatia mais pequena. Escreve sempre, por esta ordem: o que é conhecido, a equação, as duas funções que vais representar, o esboço com eixos e escala, o ponto com coordenadas, e a frase de resposta com a unidade.