O que governa este item é uma condição de adjacência: quatro objectos de um conjunto de oito têm de ficar juntos, sem nada de permeio. Sempre que uma contagem impõe que um grupo fique seguido, o caminho é o mesmo: cola-se esse grupo num bloco único, conta-se a ordenação dos objectos que restam (com o bloco a valer por um só) e, no fim, multiplica-se pelas ordens possíveis dentro do bloco.
Repara que os oito livros são distintos: não há repetições a descontar, todas as ordenações contam como diferentes.
1.º — colar os quatro policiais num bloco
Trata os quatro livros policiais como uma única peça. Depois dessa colagem, o João já não tem oito peças para arrumar: tem cinco — o bloco dos policiais e os quatro livros não policiais, um a um.
Esta é a etapa que torna a condição «seguidos» automática: enquanto o bloco se mantiver inteiro, é impossível um livro não policial cair no meio dos policiais.
2.º — ordenar as cinco peças
As cinco peças são todas distintas entre si, e a leitura é uma sequência (a ordem importa). Logo o número de sequências é o número de permutações de cinco elementos:
5!=5×4!Escrever 5! como 5×4! não muda nada — é a mesma quantidade, 120 —, mas é a forma em que as opções estão escritas, e é por isso que convém fazê-lo já aqui.
3.º — ordenar os livros dentro do bloco
Colar os policiais num bloco fixou-os juntos, mas não fixou por que ordem o João os lê. Dentro do bloco há quatro livros distintos, e todas as ordens são admissíveis:
4!Este é o factor que mais se esquece. A pergunta não diz «por esta ordem»: diz apenas seguidos.
4.º — multiplicar as duas escolhas
Escolher a posição do bloco entre as cinco peças e escolher a ordem interna do bloco são decisões independentes — qualquer ordem externa combina com qualquer ordem interna. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicam-se:
5!×4!=5×4!×4!A opção é a (D).
pelas posições que o bloco pode ocupar
Há uma segunda leitura, que dá exactamente o mesmo e serve de confirmação. Começa por ordenar só os quatro livros não policiais: 4! maneiras. Essa fila de quatro livros cria cinco lugares onde o bloco pode entrar — antes do primeiro, entre o 1.º e o 2.º, entre o 2.º e o 3.º, entre o 3.º e o 4.º, e depois do quarto. Finalmente, dentro do bloco há 4! ordens. Total:
4!×5×4!=5×4!×4!a resposta fica em factorial, não em número
As quatro opções estão escritas com factoriais, por isso não precisas de calcular 2880. Calcular não é erro, mas gasta tempo: o que decide o item é reconhecer a estrutura 5×4!×4!.
de onde vem cada opção errada
(A) 5×4! — é 5!=120. Sai de fazer a colagem e ordenar as cinco peças, e parar aí: esquece as 4! ordens dentro do bloco, isto é, trata os quatro policiais como se fossem indistinguíveis uns dos outros.
(B) 4!×4! — é 576. Ordena os quatro policiais entre si e os quatro não policiais entre si, mas esquece que o bloco pode ocupar cinco lugares diferentes na sequência: conta apenas como se os policiais viessem sempre no mesmo sítio.
(C) 2×4!×4! — é 1152. É a (B) corrigida pela metade: admite que o bloco pode vir no início ou no fim (duas posições), mas deixa de fora os três lugares intermédios. São cinco posições, não duas.
onde se perdem os 12 pontos
Num item de escolha múltipla não há cotação parcial: ou a opção assinalada está certa, ou o item vale zero. Assinalar mais do que uma opção anula a resposta.
Os dois deslizes que este item convida a cometer são exactamente os que geram a (A) e a (B): esquecer a ordem interna do bloco e esquecer as posições do bloco. Antes de assinalar, pergunta-te se a tua conta tem os dois factores 4! — um para dentro do bloco, outro para os não policiais — e o factor 5.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
Sempre que leres «seguidos», «juntos», «lado a lado» ou «consecutivos», a técnica é a mesma e tem três passos fixos: colar num bloco → ordenar o que sobra contando o bloco como um → multiplicar pelas ordens de dentro do bloco.
E guarda o contraste: se a condição fosse «os policiais não podem ficar seguidos», contarias o total 8! e subtrairias as sequências em que ficam seguidos, ou seja 8!−5!×4!.