Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 11, resolvido

Antes de tocares na equação $z^2=w$ , tens de saber quem é $w$ — e saber o seu módulo e o seu argumento, porque é assim que se extraem raízes de um complexo. O $w$ vem escrito como um quociente com um $i^{37}$ no numerador e uma exponencial complexa no denominador; o caminho mais curto é pôr o numerador na forma trigonométrica, porque aí dividir é dividir os módulos e subtrair os argumentos.

1.º — reduzir a potência de $i$

As potências de $i$ repetem-se de quatro em quatro: $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ . Divide o expoente por $4$ e fica-te pelo resto:

O numerador é, então, $-\sqrt{3}+i$ . Nos critérios esta etapa está cotada por si só, com $1$ ponto — vale sempre a pena escrevê-la.

2.º — pôr o numerador na forma trigonométrica

Precisas do módulo e do argumento de $-\sqrt{3}+i$ .

Módulo:

Argumento: a parte real é $-\sqrt{3}<0$ e a parte imaginária é $1>0$ , portanto o afixo está no 2.º quadrante. De

e do quadrante vem $\alpha =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ .

Atenção: o quadrante não é decoração, é obrigatório. A tangente sozinha não distingue $\frac{5\pi }{6}$ de $-\frac{\pi }{6}$ , e os dois ângulos dão complexos diferentes. É por isso que se diz sempre em que quadrante está o afixo antes de fixar o argumento.

3.º — dividir na forma trigonométrica

Agora o quociente é imediato: dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos.

Repara no sinal: o denominador tem argumento negativo, por isso a subtracção transforma-se numa soma. É o erro de sinal mais comum deste item.

Retém que $|w|=1$ — vai fazer falta a seguir.

passar o denominador à forma algébrica

Se preferires não mexer em argumentos logo de início, os critérios aceitam um segundo processo, cotado exactamente da mesma maneira. Começa por escrever o denominador na forma algébrica:

Repara que o denominador é o conjugado do numerador. Multiplica em cima e em baixo pelo conjugado do denominador, que é $-\sqrt{3}+i$ :

Falta voltar à forma trigonométrica: $|w|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$ e, como $\cos \theta =\frac{1}{2}$ e $\mathrm{sen}\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (4.º quadrante), $\theta =-\frac{\pi }{3}$ , ou seja $\frac{5\pi }{3}$ . Chega-se ao mesmo: $w=e^{i\frac{5\pi }{3}}$ .

qual dos dois processos usar

O 1.º processo é mais curto e não obriga a racionalizar nada, mas exige que estejas à vontade com o argumento de $-\sqrt{3}+i$ . O 2.º processo só usa contas algébricas, mas obriga a voltar à forma trigonométrica no fim — porque a equação $z^2=w$ resolve-se na forma trigonométrica, não na algébrica. Se te sentes mais seguro a multiplicar pelo conjugado, usa o 2.º; se reconheces os argumentos notáveis de imediato, o 1.º poupa-te metade do tempo.

4.º — resolver a equação $z^2=w$

Uma equação $z^n=w$ tem exactamente $n$ soluções, e todas se obtêm da fórmula das raízes de índice $n$ : o módulo é a raiz de índice $n$ do módulo de $w$ , e os argumentos são $\frac{\theta +2k\pi }{n}$ , com $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$ .

Aqui $n=2$ , $|w|=1$ (e $\sqrt[2]{1}=1$ ) e $\theta =\frac{5\pi }{3}$ :

Escrever esta expressão geral é uma etapa pontuada por si, com $3$ pontos. Não a saltes, mesmo que já vejas as duas soluções de cabeça.

5.º — dar as duas soluções

• $k=0$ : $z=e^{i\frac{5\pi }{6}}$ ;
• $k=1$ : $z=e^{i\left(\frac{5\pi }{6}+\pi \right)}=e^{i\frac{11\pi }{6}}$ .

Não há mais: para $k=2$ voltarias a $\frac{5\pi }{6}$ , porque $\frac{5\pi }{6}+2\pi$ é o mesmo argumento. As duas soluções de uma equação $z^2=w$ são sempre simétricas — os afixos são diametralmente opostos, separados por $\pi$ .

passar à forma $a+bi$ , que é a forma pedida

O enunciado pede as soluções na forma $a+bi$ , com $a,b\in \mathbb{R}$ . Deixá-las em $e^{i\theta }$ custa os últimos $2$ pontos.

Os valores exactos ficam com o radical: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , nunca $0,87$ . O item é sem calculadora e pede valor exacto.

eleva uma das soluções ao quadrado

Se sobrar tempo, confirma com a primeira:

que é exactamente o $w$ na forma algébrica obtido no 2.º processo. Bate.

onde se perdem os 14 pontos

• Errar $i^{37}$. Quem divide $37$ por $4$ e usa o quociente em vez do resto escreve $i^{37}=i^9$ ou $i^{37}=-1$ , e todo o item sai errado a partir daí.
• Perder o sinal na subtracção de argumentos. O argumento do denominador é $-\frac{5\pi }{6}$ ; quem subtrai $\frac{5\pi }{6}$ obtém $w=e^{i0}=1$ e vai buscar as soluções $1$ e $-1$ .
• Fixar o argumento só pela tangente. Sem dizer o quadrante, $\alpha =-\frac{\pi }{6}$ passa por resposta e dá um $w$ diferente.
• Dar só uma solução. A equação é de grau $2$ ; as duas soluções fazem parte da resposta e são $2$ pontos de uma etapa própria.
• Parar na forma trigonométrica. As soluções estão certas mas não estão na forma pedida — perdem-se os $2$ pontos finais.
• Usar valores aproximados. O item proíbe a calculadora; $-0,87+0,5i$ não é o valor exacto e é desvalorizado pelos critérios gerais.

o que fixar

Sempre que uma equação for $z^n=w$ , o percurso é fixo e tem três etapas que valem pontos separados: (1) pôr $w$ na forma trigonométrica; (2) escrever a expressão geral das raízes, com o $k$ e o domínio do $k$; (3) passar à forma pedida. E há um atalho que dá jeito: se $|w|=1$ , todas as raízes têm módulo $1$ , porque $\sqrt[n]{1}=1$ — só o argumento é que trabalha.