Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 9, resolvido

O ponto de partida. \"Equidistante\" é uma palavra de distâncias, e no plano complexo a distância entre os afixos de dois números é o módulo da diferença:

Por isso a condição do enunciado traduz-se numa única equação:

E o plano de ataque sai daí: pôr $z_1$, $z_2$ e $w$ todos na forma algébrica — só nessa forma se calculam módulos pelo Teorema de Pitágoras —, escrever aquela equação e resolvê-la em ordem a $k$.

1.º — simplificar $z_1$

As potências de $i$ repetem-se de quatro em quatro: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, e volta ao princípio. Logo só interessa o resto da divisão do expoente por $4$:

O afixo de $z_1$ é o ponto $(0,-2)$.

2.º — simplificar $z_2$

Um número complexo não se deixa escrito em fração. O obstáculo é o $i$ no denominador, e a técnica que o elimina é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador — porque $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ dá sempre um número real.

Denominador, pela diferença de quadrados:

Numerador, aplicando a propriedade distributiva e usando $i^2=-1$:

O afixo de $z_2$ é o ponto $(-1,2)$.

3.º — escrever $w$ na forma algébrica

Para passar da forma exponencial à algébrica usa-se a fórmula de Euler, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta$. Com $\theta =\frac{3\pi }{4}$, que é um ângulo do 2.º quadrante (cosseno negativo, seno positivo):

Multiplica agora pelo factor $-\sqrt{2}k$, distribuindo pelas duas parcelas:

Como $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$, cada coeficiente é $\frac{2}{2}=1$:

O afixo de $w$ é o ponto $(k,-k)$. Esta etapa vale 3 pontos e é a que transforma um enunciado com exponenciais num problema de geometria elementar.

⚠️ Atenção: $k$ é um número real qualquer, e pode ser negativo. Não presumas nada sobre o quadrante onde está o afixo de $w$ — trata $k$ como incógnita e segue em frente.

4.º — impor a equidistância

Calcula cada diferença em separado, juntando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:

O módulo de $a+bi$ é $\sqrt{a^2+b^2}$ (é o Teorema de Pitágoras aplicado ao afixo), logo a condição fica:

5.º — resolver em ordem a $k$

Dois números não negativos são iguais se, e só se, os seus quadrados forem iguais. Como os módulos nunca são negativos, podes elevar ao quadrado os dois membros sem risco de introduzir soluções falsas — e assim as raízes desaparecem:

Desenvolve cada quadrado com cuidado. Nota que $(-k-2{)}^2=(k+2{)}^2$, porque elevar ao quadrado apaga o sinal:

Os termos em $k^2$ cancelam-se nos dois membros — e isso não é sorte: a condição de equidistância entre dois pontos define uma mediatriz, que é uma reta, logo a equação tem de acabar do 1.º grau.

Resposta: $k=-\frac{1}{10}$.

Verificação (vale os trinta segundos)

Com $k=-\frac{1}{10}$, o afixo de $w$ é o ponto $\left(-\frac{1}{10},\frac{1}{10}\right)$. Compara os quadrados das distâncias:

São iguais: o afixo de $w$ está mesmo à mesma distância dos afixos de $z_1$ e de $z_2$.

onde se perdem pontos

• Calcular mal $i^{19}$. Divide o expoente por $4$ e usa o resto: resto $0\to 1$, resto $1\to i$, resto $2\to -1$, resto $3\to -i$. Aqui o resto é $3$, logo $i^{19}=-i$ e $z_1=-2i$. É uma etapa de $1$ ponto, mas um engano aqui muda o afixo $(0,-2)$ e arrasta as duas etapas de $3$ pontos que vêm a seguir.
• Multiplicar pelo conjugado só no numerador. Escrever a fração $\frac{(-3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ é uma etapa pontuada por si. Multiplicar por $\frac{1-i}{1-i}$ é multiplicar por $1$ e não altera o número; mexer só em cima altera-o, e o $z_2=-1+2i$ (que vale $2$ pontos) deixa de sair.
• Tratar $-\sqrt{2}k$ como se fosse um módulo. Um módulo nunca é negativo, e $k$ é um real qualquer — pode ser negativo. Ou distribuis o factor $-\sqrt{2}k$ pela forma algébrica de $e^{i\frac{3\pi }{4}}$, ou passas o sinal para o argumento, $-\sqrt{2}k{e}^{i\frac{3\pi }{4}}=\sqrt{2}k{e}^{i\frac{7\pi }{4}}$ — os critérios aceitam os dois caminhos. O que não podes é deitar fora o menos: são $3$ pontos, e sem ele sai $-k+ki$ em vez de $k-ki$.
• Escrever a distância como $|w|-|z_1|$. A distância entre afixos é o módulo da diferença, não a diferença dos módulos — a segunda até pode dar negativa, o que já mostra que não é distância. A igualdade $\left|w-z_1\right|=\left|w-z_2\right|$ vale $3$ pontos, e é a etapa que traduz a palavra «equidistante».
• Errar o sinal na subtracção. Em $w-z_1=(k-ki)-(-2i)$, subtrair $-2i$ é somar $2i$, logo $w-z_1=k+(2-k)i$. É o erro de distração mais caro do item: a equação $k^2+(2-k{)}^2=(k+1{)}^2+(-k-2{)}^2$ vale outros $3$ pontos, e sem ela a última também cai.
• Parar em $-10k=1$. A etapa final é o valor de $k$, e é sobre isso que vai $1$ ponto. Escreve-o, e como fração irredutível: o item é sem calculadora, e $-0,1$ não é o que os critérios procuram.

O que este item é, por trás

O conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que os une. Sem lhe dares o nome, o que fizeste foi intersectar a mediatriz de $[z_1{z}_2]$ com a reta $y=-x$ — que é onde vivem todos os afixos possíveis de $w$, já que o afixo é $(k,-k)$. Uma reta e uma mediatriz não paralelas cruzam-se num único ponto: por isso a resposta é um só valor de $k$.