Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 2.2, resolvido

O ponto de partida. Monotonia e extremos relativos estudam-se pelo sinal da derivada. O teorema que está por trás é este: se $g$ é diferenciável num intervalo e $g^{\prime }>0$ nesse intervalo, então $g$ é crescente lá; se $g^{\prime }<0$ , é decrescente. E um ponto onde a derivada muda de sinal é um extremo relativo — mínimo se passar de $-$ para $+$ , máximo se passar de $+$ para $-$ .

Daí o plano fixo destes itens, que é sempre o mesmo: derivar → igualar a zero → resolver → quadro de sinal → ler o quadro. As cinco etapas dos critérios são exatamente estas.

No intervalo $\left]0,\pi \right]$ estamos no segundo ramo, portanto a expressão a derivar é

1.º — a derivada

Deriva-se parcela a parcela.

• ${\left(2{\mathrm{sen}}^{2}x\right)}^{\prime }=2\times {\left({\mathrm{sen}}^{2}x\right)}^{\prime }$ . Aqui há uma composição: é o quadrado de um seno. Pela regra ${\left(u^2\right)}^{\prime }=2u{u}^{\prime }$ , com $u=\mathrm{sen}x$ e $u^{\prime }=\cos x$ , vem ${\left({\mathrm{sen}}^{2}x\right)}^{\prime }=2\mathrm{sen}x\cos x$ . Logo esta parcela dá $4\mathrm{sen}x\cos x$ .
• ${\left(-\sqrt{3}x\right)}^{\prime }=-\sqrt{3}$ , porque $\sqrt{3}$ é uma constante (não te deixes enganar pela raiz: é apenas um número, à volta de $1,73$).
• $(2{)}^{\prime }=0$ .

Um passo que vale ouro: usar a fórmula do seno do ângulo duplo, $\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}x\cos x$ , ou seja $4\mathrm{sen}x\cos x=2\mathrm{sen}(2x)$ :

Porquê dar-se ao trabalho? Porque a seguir vais resolver uma equação. Com $4\mathrm{sen}x\cos x=\sqrt{3}$ tens duas funções trigonométricas diferentes e nenhum caminho directo; com $2\mathrm{sen}(2x)=\sqrt{3}$ tens uma só função trigonométrica e a equação resolve-se pela fórmula geral. Sempre que aparecer um produto $\mathrm{sen}x\cos x$ , pensa em ângulo duplo.

2.º — igualar a zero

Escreve a equação explicitamente — é uma etapa pontuada ($1$ ponto), e é das mais fáceis de esquecer por parecer óbvia:

3.º — resolver

O ângulo cujo seno vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$ é $\frac{\pi }{3}$ (valor da tabela, a saber de cor). Pela fórmula geral de resolução de $\mathrm{sen}\theta =\mathrm{sen}\alpha$ — e atenção, há duas famílias de soluções, porque o seno é positivo no 1.º e no 2.º quadrantes:

Divide-se tudo por $2$ — e repara que o $2k\pi$ também se divide, passando a $k\pi$ :

Agora filtram-se as soluções que caem em $\left]0,\pi \right]$ :

• com $k=0$ : $x=\frac{\pi }{6}$ e $x=\frac{\pi }{3}$ — ambas pertencem ao intervalo;
• com $k=1$ : $x=\frac{7\pi }{6}$ e $x=\frac{4\pi }{3}$ — ambas maiores do que $\pi$ , rejeitam-se;
• com $k=-1$ : valores negativos, rejeitam-se.

Os zeros de $g^{\prime }$ em $\left]0,\pi \right]$ são $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{\pi }{3}$ .

4.º — o quadro de sinal

Os dois zeros partem o intervalo em três pedaços. Em cada pedaço o sinal de $g^{\prime }$ é constante (a derivada é contínua e só troca de sinal nos seus zeros), portanto testa-se um ponto de cada — não é preciso mais:

• em $\left]0,\frac{\pi }{6}\right[$ , escolhe $x=\frac{\pi }{12}$ : $g^{\prime }\left(\frac{\pi }{12}\right)=2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=2\times \frac{1}{2}-\sqrt{3}=1-\sqrt{3}\approx -0,73<0$ ;
• em $\left]\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right[$ , escolhe $x=\frac{\pi }{4}$ : $g^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}\right)-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}\approx 0,27>0$ ;
• em $\left]\frac{\pi }{3},\pi \right[$ , escolhe $x=\frac{\pi }{2}$ : $g^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\mathrm{sen}(\pi )-\sqrt{3}=0-\sqrt{3}\approx -1,73<0$ .

Organiza-se num quadro (esta apresentação vale $3$ pontos):

($x=0$ vem assinalado com «n.d.» porque não pertence ao intervalo em estudo, $\left]0,\pi \right]$ , que é aberto à esquerda.)

5.º — ler o quadro: monotonia

Porque é que os extremos dos intervalos entram fechados? Porque nos zeros da derivada a função ainda está definida e o comportamento não se interrompe: $g$ continua a decrescer até $\frac{\pi }{6}$ , inclusive. (Os critérios aceitam também a versão com os intervalos abertos nos zeros — $\left]0,\frac{\pi }{6}\right[$ , $\left]\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right[$ e $\left]\frac{\pi }{3},\pi \right[$ —, portanto a etapa não se perde por aí. Mas a versão fechada é a mais correcta.)

6.º — ler o quadro: extremos relativos

O enunciado pede os valores de $x$ para os quais há extremo — não pede os valores de $g$ . Lê-se directamente no quadro, onde a derivada muda de sinal:

• em $x=\frac{\pi }{6}$ , $g^{\prime }$ passa de $-$ a $+$ : mínimo relativo;
• em $x=\frac{\pi }{3}$ , $g^{\prime }$ passa de $+$ a $-$ : máximo relativo;
• em $x=\pi$ , mínimo relativo.

O $x=\pi$ é o que quase toda a gente esquece, e vale pontos. Não é um zero da derivada — é o extremo do domínio. Como $g$ vem a decrescer desde $\frac{\pi }{3}$ e o intervalo termina em $\pi$ (fechado, o ponto pertence ao domínio), $g(\pi )$ é menor do que todos os valores numa vizinhança à esquerda: é, por definição, um mínimo relativo. A definição de extremo relativo não exige derivada nula — exige apenas ser o maior (ou o menor) valor numa vizinhança do ponto, intersectada com o domínio.

Resposta: $g$ é decrescente em $\left]0,\frac{\pi }{6}\right]$ e em $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$ , e crescente em $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ ; tem extremos relativos em $x=\frac{\pi }{6}$ , $x=\frac{\pi }{3}$ e $x=\pi$ .

onde se perdem pontos

• Esquecer $x=\pi$ na lista dos extremos. A etapa vale $3$ pontos e pede os três valores; dois em três não é dois terços da cotação, é a etapa por cumprir. Regra a fixar: num intervalo fechado de um dos lados, esse topo é sempre candidato a extremo relativo, mesmo sem a derivada lá se anular.
• Não escrever $g^{\prime }(x)=0$. É $1$ ponto autónomo nos critérios, justamente por parecer demasiado evidente para se escrever. Saltar da derivada directamente para «os zeros são $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{\pi }{3}$» deita-o fora.
• Não apresentar o quadro de sinal. Vale $3$ pontos por si, à parte dos $3$ dos intervalos de monotonia: a mesma informação é paga duas vezes, uma como quadro e outra como frase. Quem escreve só a frase leva metade.
• Ler a monotonia do gráfico da calculadora. O grupo proíbe-a, e pela situação 2 dos critérios gerais a etapa em que a instrução é desrespeitada e todas as que dela dependem valem zero — aqui, o item quase inteiro.
• Escrever a monotonia com uma reunião, do género «decrescente em $\left]0,\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$». É falso: toma $a$ um pouco antes de $\frac{\pi }{6}$ e $b$ um pouco depois de $\frac{\pi }{3}$ — tens $a<b$ e $g(a)<g(b)$, porque entre os dois a função subiu. Monotonia diz-se em cada intervalo: «em $I$ e em $J$», com a conjunção. (Fechar ou abrir nos zeros, esse sim, não custa nada: a Nota 2 dos critérios dá a etapa por cumprida nas duas versões.)
• Responder com os valores de $g$ em vez dos valores de $x$. O enunciado pede os $x$, e a etapa dos critérios lista $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$ e $\pi$. Trocar de eixo não é um pormenor de forma — é a resposta a não bater com o pedido.