Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 12.2, resolvido

O ponto de partida. O enunciado nomeia o teorema que queres usar — Bolzano-Cauchy. Isso muda a natureza do item: não há nada a descobrir, há hipóteses a verificar uma a uma, por escrito. A pontuação está espalhada por essas verificações, não pelo resultado.

O corolário do teorema de Bolzano-Cauchy (o teorema do valor intermédio, na versão que interessa aqui) diz: se uma função $g$ é contínua no intervalo fechado $[a,b]$ e $g(a)$ e $g(b)$ têm sinais contrários, então existe pelo menos um $c\in ]a,b[$ tal que $g(c)=0$.

Três palavras desse enunciado são as três etapas a cumprir: contínua, fechado, sinais contrários.

1.º — equacionar o problema

"O gráfico da função $f$ intersecta a recta de equação $y=3x+4$ num ponto de abcissa em $]0,1[$" significa, em símbolos, que existe $x\in ]0,1[$ tal que a ordenada do gráfico e a ordenada da recta coincidem:

Esta tradução vale $2$ pontos por si. Escreve-a antes de mais nada.

2.º — a função auxiliar (o passo que o teorema obriga)

Bolzano-Cauchy fala de uma função e dos seus valores nos extremos de um intervalo. Não fala de duas funções nem de intersecções. Por isso não podes aplicá-lo directamente a $f$ e à recta: tens de transformar a igualdade numa procura de zero.

A técnica é sempre a mesma — passar tudo para o mesmo membro e dar um nome ao que sobra:

Define então a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, por

Com esta definição, provar que os gráficos se intersectam num ponto de abcissa em $]0,1[$ é exactamente o mesmo que provar que $g$ tem um zero em $]0,1[$. É esse zero que o teorema vai entregar.

3.º — a continuidade, e no intervalo fechado

$g$ é uma soma algébrica de funções contínuas em $\mathbb{R}$: as exponenciais $e^x$ e $e^{-x}$ são contínuas em $\mathbb{R}$, e $-3x-4$ é uma função polinomial, também contínua em $\mathbb{R}$. A soma, a diferença e o produto por constantes de funções contínuas são funções contínuas.

Logo $g$ é contínua em $\mathbb{R}$ e, em particular, contínua em $[0,1]$.

⚠️ Escreve o intervalo fechado, com parênteses rectos para dentro: $[0,1]$. Se escreveres "contínua em $]0,1[$", essa etapa vale $0$ pontos, mesmo com tudo o resto perfeito — porque sem os extremos $0$ e $1$ não podes falar de $g(0)$ nem de $g(1)$, e é deles que o teorema vive. (Escrever apenas "$g$ é contínua", sem especificar onde, é aceite pelo critério; escrever o intervalo aberto não é.)

4.º — os valores nos extremos

Repara que $e^{-1}=\frac{1}{e}$, e por isso $2e^{-1}=\frac{2}{e}$.

5.º — mostrar que $g(1)$ é positivo (e podes fazê-lo sem calculadora)

Não chega escrever $g(1)=3e-\frac{2}{e}-7$: tens de saber que sinal tem esse número. Como $e\approx 2,718$:

Se quiseres um argumento que não dependa da calculadora, faz o enquadramento com $e>2,7$:

• de $e>2,7$ vem $3e>8,1$;
• de $e>2,7$ vem também $\frac{2}{e}<\frac{2}{2,7}<0,75$ (dividir por um número maior dá um resultado menor);
• logo $g(1)>8,1-0,75-7=0,35>0$.

6.º — a desigualdade, escrita

Esta linha é uma etapa autónoma, cotada com $2$ pontos. Ter os dois valores calculados mas não dizer explicitamente que um é negativo e o outro positivo deixa esses pontos por ganhar — e, pelo critério, arrasta consigo os $2$ pontos da conclusão.

7.º — concluir, citando o teorema

A função $g$ é contínua em $[0,1]$ e $0$ está compreendido entre $g(0)$ e $g(1)$. Pelo corolário do teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um $c\in ]0,1[$ tal que

Ou seja: o ponto de abcissa $c$ pertence simultaneamente ao gráfico de $f$ e à recta de equação $y=3x+4$.

Fica assim provado que o gráfico da função $f$ intersecta a recta de equação $y=3x+4$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $]0,1[$. $■$

onde se perdem pontos

• Escrever "$g$ é contínua em $]0,1[$". É o erro mais caro da prova por unidade de tinta. A nota $2$ do critério manda pontuar essa etapa com $0$ pontos, e a nota $3$ acrescenta que zero nessa etapa obriga a zero na conclusão: dois parênteses virados ao contrário custam $4$ dos $14$. E há uma ironia a aproveitar — pela nota $1$, escrever apenas "$g$ é contínua", sem dizer onde, cumpre a etapa. Na dúvida, menos é mais seguro do que errado.
• Comparar $f$ com a recta "à vista", sem definir $g$. A função auxiliar é uma etapa própria de $2$ pontos, e sem ela não há zero para o teorema entregar: as etapas de $g(0)$, $g(1)$ e da desigualdade deixam de ter objecto e caem atrás dela.
• Começar por $g(x)=f(x)-3x-4$ sem escrever antes $f(x)=3x+4$. Parece redundante e não é: equacionar o problema é a primeira etapa, vale $2$ pontos, e é a única linha que liga a palavra "intersecta" do enunciado a tudo o que vem depois.
• Deixar $g(1)=3e-\frac{2}{e}-7$ e não escrever $g(0)<0<g(1)$. A desigualdade é etapa autónoma ($2$ pontos) e não se deduz de ter os dois valores calculados — uma expressão não é um sinal. É o passo que a maior parte das resoluções salta por lhe parecer óbvio.
• Concluir sem nomear o teorema. A última etapa chama-se concluir o pretendido, e o enunciado pediu explicitamente "recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy". Terminar em "logo existe $c$" deixa a existência sem origem, e são mais $2$ pontos.
• Afirmar que existe *exactamente* um ponto. O teorema dá pelo menos um; a unicidade exigiria estudar a monotonia de $g$, que ninguém pediu. Repara em como este item reparte a cotação: sete etapas, $2$ pontos cada, e só $4$ deles são conta ($g(0)$ e $g(1)$). Os outros $10$ pagam-se a escrever o que se está a fazer — o que parece burocracia é, aqui, quase toda a nota.

A regra a fixar

Sempre que um enunciado disser "mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que ... intersecta ..." ou "... tem pelo menos uma solução em $]a,b[$", o guião é sempre o mesmo, por esta ordem: (1) equaciona; (2) define $g=$ lado esquerdo $-$ lado direito; (3) justifica a continuidade de $g$ em $[a,b]$ fechado; (4) calcula $g(a)$ e $g(b)$; (5) escreve a desigualdade de sinais; (6) conclui citando o teorema pelo nome. Seis linhas, seis etapas, catorze pontos.