Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 5, resolvido

Como este item é corrigido. Não há crédito parcial por espaço isolado: os $12$ pontos são atribuídos por níveis de desempenho, contando quantos dos quatro espaços estão certos — $12$ pontos no nível 3, $8$ no nível 2 e $4$ no nível 1. Consequência prática: cada espaço que acertas a mais faz-te subir de escalão, e por isso vale sempre a pena responder a todos, mesmo aos que não dominas. Não há penalização por errar; há, isso sim, perda garantida por deixar em branco.

A calculadora é permitida neste item, e é aqui que ela faz toda a diferença: mete as duas colunas em duas listas uma única vez e as quatro respostas saem do mesmo menu de estatística.

Preparação — os dados na calculadora

Insere a coluna do diâmetro biparietal na lista $L_1$ e a do perímetro cefálico na lista $L_2$ , pela ordem em que aparecem na tabela e sem trocar pares. Cada linha da tabela é um recém-nascido: se desalinhares uma linha, os espaços I e II ainda saem certos (dependem de cada coluna isoladamente) mas III e IV saem errados, porque esses medem a relação entre as duas colunas.

Espaço I — mediana menos média dos diâmetros

A média é a soma a dividir pelo número de dados:

A mediana é o valor que divide a amostra ordenada ao meio. Os dados já vêm por ordem crescente (confirma sempre — é a primeira coisa a fazer). Como são $8$ dados, um número par, não há elemento central único: a mediana é a média dos dois valores centrais, que ocupam as posições $4$ e $5$ :

O enunciado diz «excede a respetiva média, arredondada às centésimas», ou seja usa-se $8,44$ :

Espaço I $\to$ opção a) , $0,04$ .

A origem das outras duas: b) $0,7$ é a amplitude interquartil dos diâmetros — $Q_3-Q_1=\frac{8,66+8,76}{2}-\frac{7,81+8,21}{2}=8,71-8,01=0,70$ —, isto é, a resposta de quem carregou na medida errada do menu. c) $1,75$ é a amplitude total dos diâmetros, $9,24-7,49$ , que é a resposta ao espaço II aplicada à coluna errada.

Espaço II — amplitude dos perímetros cefálicos

Amplitude de uma amostra $=$ máximo $-$ mínimo. Nada mais; não é preciso ordenar, apenas encontrar os dois extremos.

⚠️ Atenção à coluna dos perímetros: ela não está por ordem crescente. Repara na sequência $\dots 35,51;34,86;35,30;37,63$ — há um recuo a meio. Isto é intencional. Quem assume que a última linha é o máximo tem sorte (é mesmo $37,63$), mas quem assume que a penúltima é o segundo maior engana-se. Para a amplitude, o que interessa é o maior e o menor de toda a coluna:

Espaço II $\to$ opção c) , $7,27$ cm.

A origem das outras duas: a) $2,58$ é a amplitude interquartil dos perímetros — e para a calcular é preciso ordenar a coluna, $30,36;31,99;33,66;34,86;35,26;35,30;35,51;37,63$ , donde $Q_1=\frac{31,99+33,66}{2}=32,825$ e $Q_3=\frac{35,30+35,51}{2}=35,405$ , logo $35,405-32,825=2,58$ . É a confusão entre «amplitude» e «amplitude interquartil». b) $3,64$ é metade da amplitude, $\frac{7,27}{2}=3,635$ — o engano de quem divide por dois, talvez por contaminação com a ideia de «desvio em torno do centro».

Fixa a diferença: amplitude mede o espalhamento total (usa só os dois extremos e é muito sensível a valores discrepantes); amplitude interquartil mede o espalhamento dos $50\%$ centrais (ignora as pontas). São medidas diferentes, com nomes parecidos — e o exame explora isso em quase todos os anos.

Espaço III — coeficiente de correlação linear

Na calculadora, com as duas listas inseridas, corre-se a regressão linear (o menu costuma chamar-se «LinReg(ax+b)» ou «Regressão linear», e em algumas máquinas é preciso ligar o «Diagnostic» para que o $r$ apareça). Obtém-se:

Espaço III $\to$ opção b) , $0,94$ .

A eliminação é imediata, e faz-se sem calculadora nenhuma. O coeficiente de correlação linear satisfaz sempre

Logo a opção c) $3,54$ está fora do intervalo teórico e é impossível: é o valor do declive da reta de regressão ($\approx 3,536$), que se lê no mesmo ecrã da calculadora, uma linha acima do $r$ . Trocar uma pela outra é o erro clássico deste item.

A opção a) $0,87$ é o coeficiente de determinação $r^2\approx 0,8750$ , que muitas calculadoras mostram mesmo por baixo do $r$ . Guarda a distinção: $r$ mede a força e o sentido da relação linear (pode ser negativo); $r^2$ mede a proporção da variação de $y$ explicada pelo modelo (está sempre entre $0$ e $1$) e não diz o sentido.

Bom senso a confirmar: olhando para a tabela, quando $x$ cresce o $y$ também cresce, quase sempre. Espera-se um $r$ positivo e próximo de $1$ — o que exclui de imediato qualquer opção negativa ou pequena, e confirma $0,94$ como a mais plausível das duas candidatas restantes (é a mais alta, e os dados são de facto muito alinhados).

Espaço IV — estimativa pelo modelo de regressão

O modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ é a reta

cujos parâmetros a calculadora devolve na mesma operação do espaço anterior. Com arredondamento às milésimas, como o enunciado manda:

Ou seja, a reta de regressão é $y=3,536x+4,480$ . Estimar o perímetro cefálico para um diâmetro biparietal de $8,50$ cm é calcular a ordenada do ponto da reta de abcissa $8,50$ :

Espaço IV $\to$ opção a) , $34,54$ cm.

A origem dos outros: c) $41,62$ é o que sai de trocar o declive com a ordenada na origem — $4,480\times 8,50+3,536=41,62$ . É o engano de quem copia os dois números do ecrã sem reparar em qual é o $a$ e qual é o $b$ (e há calculadoras que os apresentam por ordem inversa). b) $36,11$ é um valor de aparência inofensiva mas que não resulta de nenhuma conta legítima com estes dados — está lá para apanhar quem responde «por parecer razoável».

Verificação de bom senso (esta salva o item). $x=8,50$ está apenas um pouco acima da média dos diâmetros ($8,44$). A reta de regressão passa sempre pelo ponto $\left(\overline{x},\overline{y}\right)=(8,44;34,32)$ — é uma propriedade dela. Portanto a estimativa tem de sair muito perto de $34,32$ , ligeiramente acima. $34,54$ está; $36,11$ é maior do que sete dos oito perímetros observados; $41,62$ ultrapassa o máximo da amostra em mais de $4$ cm, para um bebé de tamanho mediano. Ambos são absurdos face aos dados da tabela.

Resposta a entregar

O enunciado exige que escrevas apenas o número do espaço seguido da opção:

• I $\to$ a)
• II $\to$ c)
• III $\to$ b)
• IV $\to$ a)

a origem de cada opção errada

• Espaço I, opção b) — $0,7$. É a amplitude interquartil dos diâmetros, não a diferença entre mediana e média: $Q_3-Q_1=\frac{8,66+8,76}{2}-\frac{7,81+8,21}{2}=8,71-8,01=0,70$. Quem escolhe esta carregou na linha errada do menu de estatística — o ecrã dá-te $Q_1$ e $Q_3$ ao lado da mediana.
• Espaço I, opção c) — $1,75$. É a amplitude total dos diâmetros, $9,24-7,49=1,75$: a conta do espaço II feita na coluna do $x$ em vez da do $y$. Repara no que aconteceu — trocaste de coluna e de pergunta ao mesmo tempo, e o valor existe mesmo na tabela, por isso não dá sinal de alarme.
• Espaço II, opção a) — $2,58$. É a amplitude interquartil dos perímetros: ordenando a coluna do $y$, $Q_1=\frac{31,99+33,66}{2}=32,825$ e $Q_3=\frac{35,30+35,51}{2}=35,405$, donde $35,405-32,825=2,58$. É o mesmo engano do espaço I, aplicado à outra coluna: amplitude usa só os dois extremos; amplitude interquartil mede os $50\%$ centrais.
• Espaço II, opção b) — $3,64$. É metade da amplitude: $\frac{37,63-30,36}{2}=\frac{7,27}{2}=3,635\approx 3,64$. Nasce da ideia de «desvio em torno do centro» — dividir por dois faz sentido num raio, nenhum numa amplitude.
• Espaço III, opção a) — $0,87$. É o coeficiente de determinação, $r^2\approx 0,8750$, que quase todas as calculadoras imprimem na linha imediatamente abaixo do $r$. Os dois números vivem colados no mesmo ecrã, e este é o que está mais perto do dedo.
• Espaço III, opção c) — $3,54$. É o declive da reta de regressão, $a\approx 3,536$, lido uma linha acima do $r$ no mesmo ecrã. Esta elimina-se sem calculadora nenhuma: $-1\le r\le 1$ sempre, e $3,54$ está fora do intervalo.
• Espaço IV, opção c) — $41,62$. É o que sai de trocar o declive com a ordenada na origem: $4,480\times 8,50+3,536=41,616\approx 41,62$. O engano é de leitura, não de método — há calculadoras que mostram $b$ antes de $a$, e quem copia os dois números por ordem de aparição inverte o papel de cada um.
• Espaço IV, opção b) — $36,11$. Esta não tem conta exacta que lá chegue: não é a média dos perímetros ($34,32$), nem $\bar{y}$ somado ao desvio padrão ($36,44$ com o da população, $36,59$ com o da amostra), nem qualquer combinação dos parâmetros da reta. É o valor plausível — fica dentro da gama dos perímetros observados — posto lá para apanhar quem responde pela aparência em vez de substituir $x=8,50$ na reta.

onde se perdem pontos

• Deixar espaços por preencher. Este item não dá crédito por espaço: os $12$ pontos vêm por níveis — $12$ com os quatro certos, $8$ com três, $4$ com dois. Abaixo de dois acertos não há nível nenhum, e a resposta vale zero. Não há desconto por errar, portanto um espaço arriscado é lucro puro e um espaço em branco é perda garantida.
• Escrever duas opções para o mesmo espaço. «A cada espaço corresponde uma só opção», e a regra geral classifica apenas a resposta que aparece em primeiro lugar. Hesitar por escrito não protege — escolhe uma.
• Confundir amplitude com amplitude interquartil. Dois dos distratores ($0,7$ no espaço I e $2,58$ no espaço II) nascem só desta troca. Amplitude $=$ máximo $-$ mínimo, e mais nada; a interquartil é $Q_3-Q_1$ e mede outra coisa.
• Copiar do ecrã da calculadora o número errado no espaço III. O declive ($\approx 3,536$) e o coeficiente de determinação ($r^2\approx 0,875$) aparecem coladas ao $r$ . O filtro é imediato e não precisa de máquina: $r$ está sempre entre $-1$ e $1$ , o que elimina $3,54$ à vista.
• Trocar $a$ com $b$ na reta de regressão. O declive multiplica o $x$ , a ordenada na origem soma-se. A troca dá exactamente $41,62$ , que é a opção c) do espaço IV — está lá à espera de quem copia os dois parâmetros sem olhar a qual é qual.
• Arredondar fora do que é pedido. São milésimas para os parâmetros da reta e centésimas para as medidas. Arredondar o declive às décimas antes de multiplicar por $8,50$ desloca o resultado o suficiente para cair noutra opção — e num item por níveis isso custa um escalão inteiro, $4$ pontos.