Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 8, resolvido

O ponto de partida. Multiplicar complexos na forma trigonométrica (ou exponencial) faz duas coisas separadas: multiplica os módulos e soma os argumentos. Elevar a uma potência $n$ eleva o módulo a $n$ e multiplica o argumento por $n$:

Olha agora para as opções: elas só distinguem quadrantes e semieixos. Isso quer dizer que o módulo é irrelevante neste item — nem precisas de saber quanto vale $|w|$. Toda a resolução se faz em argumentos.

1.º — o argumento de $w$

O ponto $W$ está no 1.º quadrante e $\mathrm{Im}(w)=\mathrm{Re}(w)$. Escrevendo $w=a+ai$ com $a>0$ (é o 1.º quadrante: ambas as partes positivas), o afixo é o ponto $(a,a)$ — está sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Essa reta faz $45^{\circ }$ com o semieixo real positivo, portanto

Podes confirmá-lo pela tangente: $\tan \theta =\frac{\mathrm{Im}(w)}{\mathrm{Re}(w)}=\frac{a}{a}=1$ e, no 1.º quadrante, o único ângulo com tangente $1$ é $\frac{\pi }{4}$.

2.º — o argumento de $w^3$

Como $\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{4}<\pi$, o afixo de $w^3$ está no 2.º quadrante. Ou seja: cubar já rodou o ponto do 1.º para o 2.º quadrante.

3.º — multiplicar por $i$

$i$ é o complexo de módulo $1$ e argumento $\frac{\pi }{2}$, isto é, $i=e^{i\frac{\pi }{2}}$. Multiplicar por $i$ é, geometricamente, rodar $90^{\circ }$ no sentido positivo (o contrário aos ponteiros do relógio), sem alterar o módulo.

4.º — situar $\frac{5\pi }{4}$

Um argumento entre $\pi$ e $\frac{3\pi }{2}$ corresponde ao 3.º quadrante: parte real negativa e parte imaginária negativa. De entre os cinco pontos da figura, o único que está no 3.º quadrante é o ponto $C$.

Resposta: opção (C).

Confirmação pela forma algébrica

Se preferires números a argumentos, escolhe o representante mais simples de $w$, que é $w=1+i$ (está no 1.º quadrante e tem $\mathrm{Im}=\mathrm{Re}$):

O afixo é $(-2,-2)$: as duas coordenadas negativas, 3.º quadrante. Confirma a opção (C).

Este atalho é legítimo porque a condição $\mathrm{Im}(w)=\mathrm{Re}(w)$ com $W$ no 1.º quadrante fixa a direção de $w$: todos os $w$ admissíveis são da forma $a(1+i)$ com $a>0$, e multiplicar por um real positivo não muda o quadrante de nada.

De onde vem cada opção errada

As outras três opções não são pontos ao acaso — cada uma é o destino de um engano concreto.

(A) Ponto $A$, 2.º quadrante. É o afixo de $w^3$ sem o factor $i$, de argumento $\frac{3\pi }{4}$. É o erro de quem faz a potência com cuidado e se esquece da multiplicação final. É o distractor mais escolhido do item.

(B) Ponto $B$, semieixo real negativo (argumento $\pi$). É onde se cai parando no quadrado em vez do cubo: $i{w}^2=i\times 2i=2i^2=-2$, que é real negativo. E é também onde cai quem trata a multiplicação por $i$ como uma rotação de $\frac{\pi }{4}$ em vez de $\frac{\pi }{2}$: $\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\pi$.

(D) Ponto $D$, semieixo imaginário negativo (argumento $\frac{3\pi }{2}$). São dois enganos ao mesmo tempo: ler \"$\mathrm{Im}(w)=\mathrm{Re}(w)$\" como \"$w$ é imaginário puro\" (o que daria $\mathrm{Arg}(w)=\frac{\pi }{2}$) e, a seguir, esquecer o factor $i$. Sai $3\times \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$, precisamente o semieixo imaginário negativo.

Repara ainda que nenhuma das opções é o ponto $W$ — e isso também é informação: a operação $i{w}^3$ tem obrigatoriamente de tirar o afixo do 1.º quadrante, senão $W$ estaria entre as escolhas possíveis.

onde se perdem pontos

• Multiplicar os argumentos, ou somar os módulos. Na multiplicação de complexos os módulos multiplicam-se e os argumentos somam-se — e multiplicar por $i$ acrescenta $\frac{\pi }{2}$ ao argumento, nunca multiplica o argumento por coisa nenhuma. Trocar as duas operações manda o afixo para um quadrante à sorte.
• Passar o módulo a $3\rho$ no cubo. Ao elevar ao cubo o módulo passa a ${\rho }^3$ e só o argumento é que triplica. Neste item o módulo nem chega a contar — as opções distinguem quadrantes —, mas o hábito errado custa caro num item que peça a forma trigonométrica completa.
• Querer ler as coordenadas de $W$ na figura. A figura dá quadrantes, não medidas, e o enunciado só fixa a direção de $w$ ($\mathrm{Im}(w)=\mathrm{Re}(w)$ com $W$ no 1.º quadrante). Tentar arrancar dali um valor para $|w|$ é perder tempo num dado que não existe e que não é preciso.
• Rodar para o lado errado. Multiplicar por $i$ é rodar $\frac{\pi }{2}$ no sentido positivo; quem roda no sentido dos ponteiros do relógio está a multiplicar por $-i$ e sai em $\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$, de volta ao 1.º quadrante.
• Situar mal o argumento final. Fixa as fronteiras de uma vez: 1.º quadrante $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, 2.º $\left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$, 3.º $\left]\pi ,\frac{3\pi }{2}\right[$, 4.º $\left]\frac{3\pi }{2},2\pi \right[$. O argumento obtido, $\frac{5\pi }{4}$, está entre $\pi$ e $\frac{3\pi }{2}$: 3.º quadrante.
• Entregar sem confirmar. Os critérios deste item são uma letra: são $12$ pontos ou $0$, sem crédito nenhum pelo raciocínio. A confirmação com $w=1+i$ — $w^3=-2+2i$, $i{w}^3=-2-2i$ — custa trinta segundos e apanha o esquecimento do factor $i$, que é o engano mais provável.