Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 10.1, resolvido

O ponto de partida. Uma equação vetorial de reta, $(x,y,z)=P+k\vec{v}$, guarda duas informações independentes: o ponto $P$ por onde a reta passa (o ponto de apoio) e o vetor $\vec{v}$, que dá a direção.

O item impõe uma condição a cada uma delas:

• ser perpendicular à reta $DF$ — é uma condição sobre o vetor diretor;
• passar no ponto $A$ — é uma condição sobre os pontos da reta.

Duas condições, quatro opções. A estratégia é eliminar por etapas, começando pela condição mais rápida de testar — que aqui é a perpendicularidade, porque se resolve com um produto escalar de cabeça.

1.º — recolher os dados

Do enunciado comum do grupo: $A(4,2,0)$, e a reta $DF$ é definida por $(x,y,z)=(-7,4,2)+k(1,1,-5)$. Logo um vetor diretor de $DF$ é

O ponto $(-7,4,2)$ não serve para nada neste item: perpendicularidade é só uma questão de direção, nunca de posição. (No espaço, duas retas podem ter direções perpendiculares sem sequer se cruzarem; as opções resolvem-se do mesmo modo.)

2.º — testar a perpendicularidade

Dois vetores não nulos são perpendiculares se, e só se, o seu produto escalar for zero. Em coordenadas, o produto escalar é a soma dos produtos das coordenadas homólogas.

As opções (A) e (C) partilham o vetor diretor $(5,0,-1)$:

Não são perpendiculares a $DF$ — caem as duas.

As opções (B) e (D) partilham o vetor diretor $(0,5,1)$:

São perpendiculares a $DF$ — (B) e (D) sobrevivem, e falta desempatá-las.

3.º — testar a passagem no ponto $A$

Um ponto pertence à reta se existir um valor de $k$ que produza as três coordenadas ao mesmo tempo. Substitui $A(4,2,0)$ e resolve o sistema.

Opção (B): $(4,2,0)=(4,-3,-1)+k(0,5,1)$

O mesmo valor $k=1$ satisfaz as três equações: $A$ pertence à reta da opção (B).

Opção (D): $(4,2,0)=(4,8,-2)+k(0,5,1)$

As duas últimas equações exigem valores diferentes de $k$, logo o sistema é impossível: $A$ não pertence à reta da opção (D).

Resposta: opção (B).

De onde vem cada opção errada

A estrutura das quatro opções não é casual: são duas direções, cada uma apresentada com dois pontos de apoio diferentes.

(A) — tem o vetor diretor errado, mas passa mesmo no ponto $A$: com $k=1$, $(-1,2,1)+1\times (5,0,-1)=(4,2,0)$. É a armadilha montada para quem testa só a passagem em $A$ e dá o item por resolvido.

(C) — tem o mesmo vetor diretor errado e também não passa em $A$: da primeira coordenada, $4=-6+5k\Rightarrow k=2$; mas com $k=2$ vem $z=-2-2=-4\ne 0$. Falha as duas condições.

(D) — tem a direção certa mas o ponto de apoio errado. É a armadilha simétrica da (A): apanha quem faz o produto escalar, vê que dá zero e se esquece de confirmar o ponto.

E vale a pena perceber porque é que $(5,0,-1)$ é tentadora: quem calcula $(-5)\times (-1)$ e escreve $-5$ — esquecendo que o produto de dois negativos é positivo — obtém $5+0-5=0$ e conclui, erradamente, que há perpendicularidade. Duas das quatro opções vivem desse único sinal.

onde se perdem pontos

• Parar na primeira condição que bate certo. O item pede duas coisas ao mesmo tempo: direção perpendicular a $DF$ e passagem em $A$. Duas opções cumprem a primeira e duas cumprem a segunda; só uma cumpre as duas. Quem valida uma condição e responde está a escolher entre duas opções com uma moeda ao ar, e sem crédito parcial isso são $12$ pontos ou $0$.
• Errar o sinal em $(-5)\times (-1)$. Menos vezes menos dá mais: $(1,1,-5)\cdot (5,0,-1)=5+0+5=10$, e não $0$. Este único sinal separa a direção certa da errada.
• Confundir perpendicularidade com paralelismo. Aqui procura-se produto escalar igual a zero, não coordenadas proporcionais. São dois testes diferentes, e quem procura um diretor proporcional a $(1,1,-5)$ não encontra opção nenhuma.
• Dar o ponto por verificado porque uma coordenada bate. As três equações do sistema têm de dar o mesmo $k$. Na opção (D) a primeira dá $4=4$, que é verdadeiro para qualquer $k$, e mesmo assim $A$ não pertence à reta — as outras duas exigem $k=-\frac{6}{5}$ e $k=2$.
• Exigir que o ponto escrito na equação seja $A$. A opção certa tem ponto de apoio $(4,-3,-1)$, que não é $A$, e continua a ser a certa porque $A$ pertence à reta (com $k=1$). Uma reta tem infinitos pontos de apoio; descartar opções por esse critério elimina a resposta correcta.
• Ir buscar o ponto $(-7,4,2)$ da reta $DF$. Dessa equação só interessa o vetor diretor: a perpendicularidade é uma questão de direção, nunca de posição. No espaço, duas retas podem ter direções perpendiculares sem sequer se cruzarem.