Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 10.2, resolvido

O ponto de partida. O enunciado comum do grupo diz duas coisas sobre o ponto $C$, e são precisas as duas.

• $C$ é um vértice do prisma: pertence à reta $BC$, que é a aresta da base $[ABC]$ correspondente à aresta $[DF]$ da outra base. Num prisma as duas bases são paralelas e geometricamente iguais, logo arestas correspondentes são paralelas — a reta $BC$ tem a mesma direção da reta $DF$.
• $C$ pertence ao plano mediador de $[AB]$.

Duas condições, um ponto: $C$ é a interseção de uma reta com um plano. É esta a arrumação do 1.º processo.

E recorda a definição que governa tudo: o plano mediador de $[AB]$ é o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão à mesma distância de $A$ e de $B$. É o plano que passa no ponto médio de $[AB]$ e é perpendicular a $[AB]$.

intersectar a reta $BC$ com o plano mediador

(a) a equação do plano mediador $\alpha$

Um plano fica determinado por um ponto e por um vetor normal (perpendicular ao plano). Pela definição de plano mediador de $[AB]$:

• o vetor normal é $\overrightarrow{AB}$, porque o plano é perpendicular ao segmento;
• o ponto é o ponto médio $M$ de $[AB]$.

As coordenadas de um vetor obtêm-se subtraindo as do ponto de partida às do ponto de chegada:

As coordenadas do ponto médio são a média das coordenadas dos extremos:

Um plano com vetor normal $(a,b,c)$ tem equação cartesiana $ax+by+cz+d=0$ — repara que as coordenadas do vetor normal são os coeficientes de $x$, $y$ e $z$. Aqui:

O valor de $d$ obtém-se obrigando o plano a passar em $M$, ou seja, substituindo as coordenadas de $M$ na equação:

(b) a equação vetorial da reta $BC$

A reta $BC$ passa em $B(2,3,-3)$ e tem a direção de $DF$, isto é, o vetor diretor $(1,1,-5)$:

Um ponto genérico desta reta tem coordenadas

É esta parametrização que faz o exercício funcionar: passaste de três incógnitas ($x$, $y$ e $z$) para uma só ($k$). Encontrar $C$ é agora encontrar um número.

(c) intersectar

O ponto $C$ está na reta e no plano, portanto as suas coordenadas têm de verificar a equação de $\alpha$. Substitui o ponto genérico:

Desenvolve com atenção aos sinais — em $-3(-3-5k)$ mudam dois sinais:

Agrupa os termos em $k$ e os termos independentes:

(d) as coordenadas de $C$

Substitui $k=-\frac{1}{2}$ no ponto genérico da reta:

O item é sem calculadora: deixa as coordenadas em fração, sem as passar a $0,5$ nem arredondar seja o que for.

usar a equidistância directamente

Os critérios aceitam um segundo caminho, que nunca chega a escrever a equação do plano. A ideia é usar a definição em vez de construir o objecto: dizer que $C$ pertence ao plano mediador de $[AB]$ é dizer apenas que

Parte-se do mesmo ponto genérico da reta $BC$, $C(2+k,3+k,-3-5k)$, e calculam-se os dois vetores:

A norma de $(a,b,c)$ é $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Como as duas normas são não negativas, igualá-las é o mesmo que igualar os seus quadrados — e assim as raízes nunca chegam a aparecer:

Desenvolve o primeiro membro:

O segundo membro é $k^2+k^2+25k^2=27k^2$. Os termos em $k^2$ cancelam-se — pela mesma razão do item 9: uma condição de equidistância define sempre um objecto linear (aqui, um plano), logo a equação acaba do 1.º grau.

E chega-se, claro, ao mesmo ponto: $C\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$.

Quando vale a pena cada um. O 1.º processo compensa quando já precisas do plano mediador noutra alínea, ou quando as coordenadas do ponto médio são inteiras. O 2.º é o mais rápido neste caso concreto: dispensa o ponto médio, dispensa o cálculo de $d$ e evita as frações $\frac{5}{2}$ e $-\frac{3}{2}$, que são precisamente onde se erra. Em contrapartida obriga a desenvolver três quadrados, e aí é preciso mão firme nos sinais.

Verificação

Confirma que o ponto encontrado está mesmo à mesma distância de $A$ e de $B$:

Iguais — o ponto $C$ é mesmo equidistante de $A$ e de $B$.

onde se perdem pontos

• Copiar o ponto de apoio de $DF$ para a reta $BC$. Da equação de $DF$ aproveita-se só o vetor diretor, $(1,1,-5)$ — a justificação é o prisma, em que arestas correspondentes das duas bases são paralelas. O ponto tem de ser $B(2,3,-3)$. Escrever a equação vetorial de $BC$ vale $2$ pontos e reconhecer que $C$ é da forma $(2+k,3+k,-3-5k)$ vale outro; quem copia o $(-7,4,2)$ perde as duas e ainda chega a um $C$ errado com o resto todo bem feito.
• Trocar a diferença pela média. $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,1,-3)$ é uma diferença; o ponto médio $M\left(3,\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)$ é uma média. Os critérios pontuam as duas separadamente, $1$ ponto cada, e trocar as operações estraga o plano logo no início.
• Deixar o plano sem o termo independente. $-2x+y-3z=0$ é o plano perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ que passa na origem — outro plano. Obter $d=-1$, substituindo $M$, é uma etapa própria de $1$ ponto, e sem ela nada do que vem a seguir dá o ponto certo.
• Errar os sinais em $-3(-3-5k)$. Este produto dá $+9+15k$: mudam dois sinais ao mesmo tempo. A equação $-2(2+k)+3+k-3(-3-5k)-1=0$ vale $2$ pontos, e quem escreve $-9-15k$ chega a um $k$ que não é $-\frac{1}{2}$.
• Misturar os dois processos a meio. Os critérios pontuam um caminho: ou intersectas a reta $BC$ com o plano mediador, ou impões $\overline{AC}=\overline{BC}$ directamente (e só essa frase vale $3$ pontos no 2.º processo). Começar pelo plano, desistir a meio e passar às distâncias deixa duas resoluções incompletas, e cada uma é classificada pelo que lá está.
• Parar no valor de $k$, ou entregá-lo em decimais. $k=-\frac{1}{2}$ não é o que foi perguntado: pedem-se as coordenadas de $C$. A última etapa vale $2$ pontos — mais do que o próprio $k$ — e é a que mais vezes fica por escrever por falta de tempo no fim da prova. O item é sem calculadora: a resposta é $\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$, em frações exactas.