Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 4, resolvido

O ponto de partida. A frase «selecionou-se um aluno que não está inscrito em dança contemporânea» não descreve um acontecimento novo: descreve uma informação já conhecida sobre o aluno escolhido. Isso é a assinatura da probabilidade condicionada. Quando um enunciado dá uma característica do elemento escolhido antes de te perguntar outra coisa, essa característica é a condição.

A definição que governa o item:

Em palavras: a condição encolhe o universo. Deixas de contar em toda a academia e passas a contar apenas dentro do grupo dos que não fazem dança contemporânea.

1.º — dar nomes aos acontecimentos

Faz-se isto sempre, e no início. Sem nomes, as contas viram sopa de letras.

• $B$ : «o aluno está inscrito em ballet clássico»;
• $C$ : «o aluno está inscrito em dança contemporânea».

2.º — traduzir cada dado do enunciado

Este é o passo em que o item se ganha ou se perde. Três frases, três traduções:

• «$60\%$ estão inscritos em ballet clássico» $⟶$ $P(B)=0,6$ ;
• «$25\%$ estão inscritos em dança contemporânea e não estão inscritos em ballet» $⟶$ é uma interseção, porque a percentagem é sobre o total de alunos: $P\left(C\cap \overline{B}\right)=0,25$ ;
• «metade dos inscritos em dança contemporânea também estão inscritos em ballet» $⟶$ é uma condicionada, porque a percentagem é sobre o grupo dos inscritos em contemporânea e não sobre o total: $P(B\mid C)=0,5$ .

A distinção entre as duas últimas é o coração do item. Repara na construção das frases: «$25\%$ [dos alunos] estão em $C$ e não em $B$» tem como referência o total — é interseção. «Metade dos inscritos em $C$» tem como referência um subconjunto — é condicionada. Sempre que leres «dos», «entre os», «daqueles que», estás perante uma condicionada.

3.º — identificar o pedido

Pede-se a probabilidade de o aluno estar em ballet, sabendo que não está em contemporânea:

Esta identificação vale $2$ pontos nos critérios, e escreve-se antes de qualquer conta: é ela que diz quais são as duas quantidades que te faltam — $P\left(B\cap \overline{C}\right)$ e $P\left(\overline{C}\right)$ .

algébrico

Passo a — encontrar $P(C)$ . Ainda não a sabes, mas tens duas informações sobre ela. A primeira, da definição de condicionada:

A segunda: o acontecimento $C$ parte-se em duas fatias que não se sobrepõem — os que também fazem ballet e os que não fazem. É a decomposição de um acontecimento:

Substituindo as duas informações:

Passo b — as restantes probabilidades.

Para $P\left(B\cap \overline{C}\right)$ usa-se a mesma ideia de decomposição, agora aplicada a $B$ : quem faz ballet ou também faz contemporânea, ou não faz.

Passo c — o valor pedido.

tabela de dupla entrada

Os critérios dão este processo como equivalente, e vale a pena conhecê-lo: sempre que houver duas características, cada uma com duas hipóteses (sim/não), a tabela de dupla entrada resolve o problema quase sem álgebra. As quatro células interiores são as quatro interseções, e cada linha e cada coluna soma para a respetiva margem.

Chama-se $k$ a $P(C)$ e escrevem-se os dados. A célula $B\cap C$ é $0,5k$ , pela condicionada; a célula $\overline{B}\cap C$ é $0,25$ , do enunciado; a margem da coluna de $B$ é $0,6$ ; o canto é $1$ .

A coluna de $C$ fecha-se sozinha e dá logo o valor de $k$ :

Com $k=0,5$ , preenche-se o resto por subtração — linha a linha, coluna a coluna:

O pedido lê-se directamente da tabela: dentro da coluna $\overline{C}$ , cujo total é $0,5$ , a fatia que está em $B$ é $0,35$ .

Qual usar? A tabela é mais segura quando há duas características dicotómicas e vários dados cruzados — preenche-se quase mecanicamente e é difícil enganares-te. O processo algébrico é preferível quando há três ou mais acontecimentos, ou quando os dados não se organizam em linhas e colunas. Neste item os dois valem exatamente o mesmo em pontos.

A forma da resposta

O enunciado exige dízima. A resposta é $0,7$ .

Entregar $\frac{7}{10}$ , $\frac{35}{50}$ ou $70\%$ não cumpre a forma pedida e custa a última etapa ($2$ pontos), por muito correcto que esteja tudo o resto.

Verificação de bom senso

Há uma conta de controlo que demora segundos e apanha quase todos os erros — a lei da probabilidade total: a probabilidade de fazer ballet tem de ser a média ponderada das duas condicionadas.

Bate com o $P(B)=0,6$ do enunciado. E faz sentido qualitativamente: entre os que fazem contemporânea só metade faz ballet ($0,5$), abaixo da média geral ($0,6$); logo, entre os que não fazem contemporânea, a proporção tem forçosamente de ser acima de $0,6$ — e $0,7$ está.

onde se perdem pontos

• Ler «metade dos inscritos em dança contemporânea» como $P(B\cap C)=0,5$ . É a leitura que parte o item ao meio: com a interseção no lugar da condicionada deixas de conseguir obter $P(C)$ , e caem de uma vez as etapas de $P(C)$ , $P\left(\overline{C}\right)$ , $P(B\cap C)$ e $P\left(B\cap \overline{C}\right)$ — $6$ dos $14$ pontos, mais o valor final.
• Não escrever $P\left(B\mid \overline{C}\right)=\frac{P\left(B\cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}$ . Identificar o pedido é uma etapa própria, de $2$ pontos, e paga-se só por escrevê-la — antes de qualquer conta, mesmo que o resto corra mal. Quem vai directo aos números perde-a sem dar por isso.
• Pôr $P(B)$ no denominador. $P\left(B\mid \overline{C}\right)$ e $P\left(\overline{C}\mid B\right)$ são grandezas diferentes; a segunda dava $\frac{0,35}{0,6}\approx 0,583$ . No denominador vai aquilo que já sabes — aqui, que o aluno não faz contemporânea.
• Começar por um processo e acabar no outro. Os critérios trazem duas grelhas distintas — a algébrica e a da tabela de dupla entrada — e cada uma pontua as suas etapas. Uma resolução que arranca a tabela, a deixa a meio e continua em álgebra não cumpre nenhuma das duas grelhas até ao fim; e a regra geral acrescenta que, havendo mais do que uma resposta ao mesmo item, só a primeira é classificada. Escolhe um caminho na primeira linha e vai com ele até ao fim.
• Apresentar só o valor $0,7$ . A regra geral é seca: apresentação apenas do resultado final, zero pontos à resposta inteira. Aqui isso custa os $14$ pontos com a resposta certa na folha.
• Responder $\frac{7}{10}$ ou $70\%$ . O enunciado pede dízima, e a forma do resultado é cotada: não a respeitar desconta na etapa final. É a linha mais barata do item e a que mais se perde por distração.