Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 3, resolvido

O ponto de partida. A linha $n$ do triângulo de Pascal é, por definição, a sequência

Duas propriedades resolvem este item inteiro, e ambas são de saber de cor:

• A desfasagem de uma unidade. A contagem das posições começa em $1$ («primeiro elemento») mas a dos índices começa em $0$ . Logo o primeiro elemento é ${}^n{C}_0$ , o segundo é ${}^n{C}_1$ , e em geral o $p$-ésimo elemento é ${}^n{C}_{p-1}$ . A linha $n$ tem, portanto, $n+1$ elementos.
• A simetria. ${}^n{C}_k={}^n{C}_{n-k}$ — a linha lida da esquerda para a direita é igual à linha lida da direita para a esquerda.

1.º — traduzir «segundo» e «penúltimo»

Segundo elemento: posição $2$ , índice $1$ , ou seja ${}^n{C}_1$ . E ${}^n{C}_1=n$ (há exatamente $n$ maneiras de escolher $1$ objeto entre $n$).

Penúltimo elemento: a linha tem $n+1$ elementos, portanto o último está na posição $n+1$ e o penúltimo na posição $n$ — índice $n-1$ , ou seja ${}^n{C}_{n-1}$ . Pela simetria, ${}^n{C}_{n-1}={}^n{C}_1=n$ .

Conclusão a guardar para sempre: em qualquer linha do triângulo de Pascal, o segundo e o penúltimo elementos são iguais e valem ambos $n$ — o próprio número da linha. É a forma mais rápida de identificar uma linha a partir de uma pista numérica.

2.º — usar a condição dada

O produto dos dois é $625$ :

Rejeita-se $n=-25$ : $n$ é o número de uma linha do triângulo, logo é um inteiro não negativo. Diz isto na prova — escrever só «$n=25$» sem justificar a escolha do sinal é o tipo de salto que um corretor assinala.

A linha em causa é a linha $25$ .

3.º — descer uma linha

O enunciado não pergunta pela linha $25$ : pergunta pela linha anterior, que é a linha $24$ . Os elementos dessa linha são da forma ${}^{24}{C}_k$ .

Sublinha esta frase no enunciado quando a leres. É aqui que se perde o item — não na matemática, na leitura.

4.º — o quinto elemento da linha $24$

Quinto elemento $\Rightarrow$ posição $5$ $\Rightarrow$ índice $k=5-1=4$ :

Resposta: opção (A).

A origem aritmética de cada distrator

As três opções erradas não são números ao acaso: são exatamente os resultados dos três enganos que este item provoca. Confirma-o na calculadora e o padrão fica gravado.

(B) $12650={}^{25}{C}_4$ — acertou no índice ($4$) mas ficou na linha $25$ , esquecendo o «linha anterior».

(C) $42504={}^{24}{C}_5$ — acertou na linha ($24$) mas leu «quinto elemento» como «índice $5$» , esquecendo que a contagem dos índices começa em $0$ . É o engano mais frequente dos três.

(D) $53130={}^{25}{C}_5$ — cometeu os dois enganos ao mesmo tempo: linha errada e índice errado.

Repara na arquitetura do item: cada distrator isola um erro, e o último combina-os. Quando vires quatro opções assim arrumadas, desconfia sempre de que duas decisões pequenas — aqui, «que linha?» e «que índice?» — decidem tudo.

Verificação de bom senso

Numa linha, os binomiais crescem da ponta para o meio. Na linha $24$ o maior é ${}^{24}{C}_{12}\approx 2,7$ milhões, e o quinto elemento ainda está longe do centro — uma ordem de grandeza na casa das dezenas de milhar é plausível. Além disso, ${}^{24}{C}_4$ tem de ser menor do que ${}^{24}{C}_5$ e do que ${}^{25}{C}_4$ (subir de linha ou aproximar-se do meio faz crescer): $10626$ é o menor das quatro opções, o que é coerente com ser o «mais à esquerda e na linha mais baixa».

onde se perdem pontos

Item de escolha múltipla: $12$ pontos ou zero, sem crédito parcial e sem penalização por errar.

• Ler «quinto elemento» como ${}^n{C}_5$. As posições começam em $1$ e os índices em $0$: o $p$-ésimo elemento é ${}^n{C}_{p-1}$. Este engano sozinho dá a opção (C) e, combinado com o seguinte, dá a (D) — metade do espaço de respostas foi construída à volta dele.
• Responder sobre a linha $25$. O enunciado pede a linha anterior. É uma palavra, e é ela que separa (A) de (B). Sublinha o «anterior» antes de tocares na calculadora.
• Confundir o penúltimo elemento com o último. O último é ${}^n{C}_n=1$, e com ele o produto daria $n\times 1=625$, ou seja, a linha $625$. O penúltimo é ${}^n{C}_{n-1}$, que pela simetria vale $n$ — é daí que o produto é $n^2$ e a linha é a $25$.
• Deixar em branco por não ver caminho. As quatro opções são binomiais das linhas $24$ ou $25$ com índice $4$ ou $5$: mesmo sem fechar o raciocínio, calcular ${}^{24}{C}_4$ na calculadora resolve o item. Errar custa exactamente o mesmo que o branco.
• Assinalar duas opções. Pelos critérios gerais, só é classificada a resposta que surgir em primeiro lugar; uma segunda escolha escrita a seguir não substitui a primeira.