Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 7, resolvido

O ponto de partida. Há três ferramentas em jogo, e convém nomeá-las antes de tocar nas contas:

• a definição de produto escalar através do ângulo: $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \theta$, sendo $\theta$ o ângulo formado pelos dois vetores;
• a leitura da equação reduzida da circunferência: em $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, o centro é $(a,b)$ e o raio é $r$;
• o comprimento de um arco: $\ell =r\times \theta$, com $\theta$ o ângulo ao centro medido em radianos.

Repara no desenho do problema: o que te é dado é um produto escalar; o que te é pedido é um arco. A ponte entre os dois é o ângulo ao centro $A\hat{C}B$ — é para aí que tens de caminhar.

1.º — o raio da circunferência

Escrita na forma-padrão, isto é ${\left(x-(-1)\right)}^2+(y-1{)}^2=2^2$. O centro é $C(-1,1)$ e, sobretudo, o raio é $2$ — é $\sqrt{4}$, e não $4$, porque o segundo membro representa $r^2$.

É $1$ ponto, ganho na primeira linha da resolução.

2.º — o triângulo é isósceles

Os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência e $C$ é o centro, logo $[CA]$ e $[CB]$ são raios da mesma circunferência:

Ou seja, $[ABC]$ é isósceles, com os dois lados iguais a partirem de $C$. Daqui vem tudo o resto, porque num triângulo isósceles a altura relativa à base é também mediana: a perpendicular tirada de $C$ para $[AB]$ cai exactamente no ponto médio de $[AB]$.

Esta justificação é uma etapa pontuada — escreve a razão, não te limites a afirmar que é isósceles.

3.º — escrever o produto escalar em função de $\alpha$

O ângulo $\alpha$ é o ângulo do triângulo com vértice em $A$, entre os lados $[AB]$ e $[AC]$. É exactamente o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$, porque ambos partem de $A$ (se um deles apontasse para $A$, o ângulo seria o suplementar e o sinal do produto escalar mudava). Por definição:

Já sabes que $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =2$. Falta $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ — e é aí que o isósceles entra ao serviço.

4.º — o comprimento de $[AB]$ em função de $\alpha$

Designa por $M$ o ponto médio de $[AB]$. Pelo que se disse no passo 2, $[CM]$ é perpendicular a $[AB]$, portanto o triângulo $[ACM]$ é retângulo em $M$.

Nesse triângulo retângulo, visto a partir do vértice $A$: a hipotenusa é $[AC]$, que mede $2$, e o cateto adjacente a $\alpha$ é $[AM]$. Pela definição de cosseno num triângulo retângulo (cateto adjacente a dividir pela hipotenusa):

E como $M$ é o ponto médio de $[AB]$, tem-se $\overline{AB}=2\times \overline{AM}$:

5.º — juntar tudo e resolver em $\alpha$

O enunciado diz que este produto escalar vale $6$, o que dá uma equação:

Aqui não podes ficar com os dois sinais. O enunciado diz $\alpha \in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, e no 1.º quadrante o cosseno é positivo. A solução negativa rejeita-se, e essa rejeição tem de ficar escrita:

($\frac{\pi }{6}$ é um dos valores da tabela dos ângulos notáveis, que tens de saber de cor: o item é sem calculadora.)

6.º — do ângulo em $A$ para o ângulo ao centro

A soma dos ângulos internos de um triângulo é $\pi$. Como $[ABC]$ é isósceles com $\overline{CA}=\overline{CB}$, os ângulos da base — os de vértices $A$ e $B$ — são iguais, ambos $\frac{\pi }{6}$:

7.º — o comprimento do arco

$A\hat{C}B$ tem o vértice no centro da circunferência, logo é um ângulo ao centro e a amplitude do arco $AB$ é a dele. Com raio $2$:

Resposta: o arco $AB$ tem comprimento $\frac{4\pi }{3}$. É o valor exato que o enunciado pede — deixa-o assim, não o substituas por $4,19$.

ir directo ao ângulo ao centro

Os critérios aceitam um caminho alternativo, que dispensa o ângulo $\alpha$, o ponto médio e a trigonometria do triângulo retângulo. Resolve-se tudo com álgebra de vetores, e vale a pena conhecê-lo.

A ideia é escrever $\overrightarrow{AB}$ como um caminho que passa pelo centro (relação de Chasles):

Substituindo no produto escalar e usando a distributividade:

A primeira parcela é imediata, porque o produto escalar de um vetor por si próprio é o quadrado da sua norma:

A segunda parcela esconde uma armadilha de sinal. O ângulo $A\hat{C}B$ é o ângulo entre $\overrightarrow{CA}$ e $\overrightarrow{CB}$ — os dois a partir de $C$ — e não entre $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{CB}$. Como $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$, tem de aparecer um sinal menos:

Juntando as duas parcelas e igualando a $6$:

Um cosseno negativo diz-te logo que o ângulo ao centro é obtuso. Sendo um ângulo interno de um triângulo, está em $]0,\pi [$, e nesse intervalo há um só ângulo com cosseno $-\frac{1}{2}$:

Daí em diante é igual ao 1.º processo: ${\ell }_{AB}=2\times \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$.

Quando vale a pena cada um. O 1.º processo é o caminho natural quando o enunciado insiste no ângulo $\alpha$ e a figura já traz o triângulo marcado — e é o que te obriga a olhar para o isósceles, que muitas vezes é reaproveitado noutra alínea. O 2.º é preferível sempre que o que se pede depende do ângulo ao centro: evita a construção auxiliar do ponto médio e transforma o item numa conta de três linhas.

onde se perdem pontos

• Ler o raio como $4$ . Em $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=4$ , o $4$ é $r^2$ . Além do ponto da própria etapa, o erro entra em todas as contas seguintes — $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert$ , o produto escalar e o comprimento do arco — e não sobra praticamente nada dos $14$ pontos.
• Afirmar que $[ABC]$ é isósceles sem dizer porquê. A justificação é a etapa: $[CA]$ e $[CB]$ são raios da mesma circunferência, logo medem ambos $2$ . Uma etapa que exige justificação e não a traz é pontuada com zero, mesmo estando a conclusão certa.
• Ficar com $\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ . A equação ${\cos }^2\alpha =\frac{3}{4}$ dá sempre dois sinais; é o $\alpha \in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ do enunciado que manda rejeitar o negativo. Sem essa rejeição escrita ficas com duas respostas — e duas respostas ao mesmo item classificam-se pela primeira que aparecer.
• Trocar de processo a meio. Os critérios têm duas grelhas: uma que passa pelo ponto médio $M$ e pelo ângulo $\alpha$ , outra que parte $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ e vai direita ao ângulo ao centro. As etapas de uma não somam com as da outra. Se decidires pelo segundo caminho, o sinal é tudo: $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}$ , e esquecê-lo dá $\cos \left(A\hat{C}B\right)=\frac{1}{2}$ e um arco de $\frac{2\pi }{3}$ — metade do correcto.
• Aplicar $\ell =r\theta$ com o ângulo errado, ou em graus. O arco mede-se pelo ângulo com vértice no centro, $A\hat{C}B=\frac{2\pi }{3}$ , e não pelo ângulo em $A$ — com $\alpha =\frac{\pi }{6}$ sai $\frac{\pi }{3}$ , a resposta errada mais frequente do item. E a fórmula só vale em radianos: com $120^{\circ }$ obténs $240$ , que não é comprimento de coisa nenhuma.
• Entregar $4,19$ . É pedido o valor exato, $\frac{4\pi }{3}$ , e o item é sem recorrer à calculadora: dar a aproximação desconta na etapa final, e usar a máquina onde ela está proibida põe a zero a etapa em causa e todas as que dependam dela.