Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 9, resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2026 · 2.ª fase

Na Figura 2, está representado, em referencial o.n. $O x y$ , o retângulo $[A B C D]$ .

Referencial ortonormado Oxy. Retângulo [ABCD] muito alongado e inclinado: o vértice D está sobre o semieixo positivo Oy, o vértice C está imediatamente à sua direita e ligeiramente acima, o vértice A está sobre o semieixo positivo Ox e o vértice B está no primeiro quadrante, um pouco acima do eixo Ox e à direita de A. Legenda: Figura 2. — Figura 2

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(2, 0)$ ;
o ponto $D$ pertence ao eixo $O y$ ;
a reta $B C$ é definida pela equação reduzida $y = - 2 x + 5$ .

Determine as coordenadas do ponto $C$ .

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

Como $[A B C D]$ é um retângulo, os lados $[A D]$ e $[B C]$ são paralelos, pelo que as retas $A D$ e $B C$ têm o mesmo declive. Como a reta $B C$ é definida por $y = - 2 x + 5$ , o declive da reta $A D$ é $- 2$ .

A reta $A D$ passa no ponto $A (2, 0)$ , logo $0 = - 2 \times 2 + b \Leftrightarrow b = 4$ e a reta $A D$ é definida por $y = - 2 x + 4$ .

Como o ponto $D$ pertence ao eixo $O y$ , tem abcissa nula, pelo que $D (0, 4)$ .

Os lados $[D C]$ e $[A D]$ são perpendiculares, pelo que $m_{D C} = - \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ . Como a reta $D C$ passa em $D (0, 4)$ , é definida por $y = \frac{1}{2} x + 4$ .

O ponto $C$ é o ponto de intersecção da reta $D C$ com a reta $B C$ :

\frac{1}{2} x + 4 = - 2 x + 5 \Leftrightarrow \frac{5}{2} x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}

y = - 2 \times \frac{2}{5} + 5 = \frac{21}{5}

Logo, o ponto $C$ tem coordenadas $(\frac{2}{5}, \frac{21}{5})$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

O que governa este item é a definição de retângulo traduzida para declives: lados opostos paralelos (declives iguais) e lados consecutivos perpendiculares (declives com produto $- 1$ ). A única informação analítica que te dão é a reta $B C$ , de declive $- 2$ ; tudo o resto se constrói a partir dela.

que lados são paralelos e que lados são perpendiculares

No retângulo $[A B C D]$ , os vértices seguem-se por esta ordem, logo os lados são $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ e $[D A]$ . Daqui:

$[A D]$ e $[B C]$ são lados opostos, portanto paralelos: têm o mesmo declive;
$[D C]$ e $[A D]$ são lados consecutivos, portanto perpendiculares; o mesmo se passa com $[A B]$ e $[B C]$ .

Recorda a regra dos declives: se $r ⊥ s$ e nenhuma delas é vertical, então $m_{r} \times m_{s} = - 1$ , isto é, $m_{s} = - \frac{1}{m _{r}}$ .

1.º — encontrar o ponto $D$

A reta $B C$ tem equação reduzida $y = - 2 x + 5$ , logo o seu declive é $m_{B C} = - 2$ . Como $A D ∥ B C$ ,

m_{A D} = - 2

A reta $A D$ passa no ponto $A (2, 0)$ , portanto é da forma $y = - 2 x + b$ . Substitui as coordenadas de $A$ para descobrir $b$ :

0 = - 2 \times 2 + b \Leftrightarrow b = 4

A reta $A D$ é $y = - 2 x + 4$ . E agora usa a segunda condição do enunciado: $D$ pertence ao eixo $O y$ , ou seja, a abcissa de $D$ é $0$ . Substituindo $x = 0$ , vem $y = 4$ :

D (0, 4)

Estas três conclusões são etapas pontuadas por si — o declive $- 2$ vale $2$ pontos, a ordenada na origem $4$ vale $2$ pontos e as coordenadas de $D$ valem $1$ ponto. Escreve-as todas, mesmo que te pareçam imediatas.

2.º — encontrar o ponto $C$ pela reta $D C$

$[D C]$ é perpendicular a $[A D]$ , logo

m_{D C} = - \frac{1}{m _{A D}} = - \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}

A reta $D C$ passa em $D (0, 4)$ , e como a abcissa de $D$ é $0$ , a ordenada na origem é logo $4$ :

y = \frac{1}{2} x + 4

O ponto $C$ pertence à reta $D C$ e à reta $B C$ , por isso é a intersecção das duas. Iguala as ordenadas:

\frac{1}{2} x + 4 = - 2 x + 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2} x + 2 x = 5 - 4 \Leftrightarrow \frac{5}{2} x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}

Substitui na equação mais simples, a de $B C$ :

y = - 2 \times \frac{2}{5} + 5 = - \frac{4}{5} + \frac{25}{5} = \frac{21}{5}

C (\frac{2}{5}, \frac{21}{5})

pelo vetor $A D$ (o 2.º processo dos critérios)

Num retângulo, $B C = A D$ , porque $[A B C D]$ é em particular um paralelogramo. Então $C = B + A D$ , e só te falta o ponto $B$ .

$[A B] ⊥ [B C]$ , logo $m_{A B} = \frac{1}{2}$ ; como a reta $A B$ passa em $A (2, 0)$ , vem $0 = \frac{1}{2} \times 2 + b \Leftrightarrow b = - 1$ , isto é, $y = \frac{1}{2} x - 1$ .

A intersecção com $B C$ : $\frac{1}{2} x - 1 = - 2 x + 5 \Leftrightarrow \frac{5}{2} x = 6 \Leftrightarrow x = \frac{12}{5}$ , e $y = - 2 \times \frac{12}{5} + 5 = \frac{1}{5}$ . Logo $B (\frac{12}{5}, \frac{1}{5})$ .

Com $A D = D - A = (0 - 2, 4 - 0) = (- 2, 4)$ :

C = B + A D = (\frac{12}{5} - 2, \frac{1}{5} + 4) = (\frac{2}{5}, \frac{21}{5})

pelo produto escalar (o 3.º processo dos critérios)

Da equação reduzida $y = - 2 x + 5$ lê-se diretamente um vetor diretor de $B C$ : $u (1, - 2)$ — avança $1$ em $x$ e desce $2$ em $y$ .

Como $[D C] ⊥ [B C]$ , tens $u \cdot D C = 0$ . O ponto $C$ está na reta $B C$ , portanto as suas coordenadas são da forma $(x, - 2 x + 5)$ , e

D C = C - D = (x - 0, - 2 x + 5 - 4) = (x, - 2 x + 1)

u \cdot D C = 1 \times x + (- 2) (- 2 x + 1) = x + 4 x - 2 = 5 x - 2

5 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} e y = - 2 \times \frac{2}{5} + 5 = \frac{21}{5}

Os três caminhos dão o mesmo ponto. Escolhe aquele em que te enganas menos — mas escolhe um e leva-o até ao fim, sem misturar.

como apresentar o resultado

O resultado é um par ordenado, com as duas coordenadas na forma de fração irredutível: $C (\frac{2}{5}, \frac{21}{5})$ . O enunciado não pede aproximação, portanto nada de $C (0, 4; 4, 2)$ — quando não é pedida aproximação, apresenta-se sempre o valor exato.

o ponto cai onde a figura o mostra?

$\frac{2}{5} = 0, 4$ e $\frac{21}{5} = 4, 2$ . Na Figura 2, $C$ está mesmo ao lado de $D (0, 4)$ , um pouco à direita e um pouco acima — exatamente isso. Confirma ainda que $C$ pertence à reta $B C$ : $- 2 \times \frac{2}{5} + 5 = \frac{21}{5}$ . Pertence.

onde é que isto se perde

Trocar paralelo com perpendicular. $[A D]$ é oposto a $[B C]$ (paralelo, mesmo declive $- 2$ ); $[D C]$ é consecutivo a $[A D]$ (perpendicular, declive $\frac{1}{2}$ ). Trocar isto logo no primeiro passo estraga os $14$ pontos.
Errar o inverso simétrico. O perpendicular a $- 2$ é $- \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ , positivo. Escrever $- \frac{1}{2}$ é o erro mais comum deste item.
Confundir $D$ com $C$ . O ponto do eixo $O y$ é $D$ , não $C$ . $C$ está no primeiro quadrante, com abcissa positiva.
Não justificar. Dar o ponto certo sem escrever que $A D ∥ B C$ e que $D C ⊥ A D$ perde os pontos dessas etapas. O item é de construção: os cálculos e as justificações contam.
Arredondar. $(0, 4; 4, 2)$ é o valor exato escrito em dízima, o que é aceitável, mas $(0, 4; 4, 2)$ obtido de uma aproximação intermédia não é. Trabalha sempre em frações.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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