Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 14, resolvido

O que governa este item. A expressão de $d$ já te é dada — não tens de deduzir nada de geometria do cone. O trabalho todo está em duas coisas: traduzir uma frase em português para uma equação e resolver essa equação na calculadora, porque ela é transcendente (tem $x$ dentro de um seno e $x$ no denominador) e não há processo algébrico que a resolva exactamente.

Olha para a repartição da cotação antes de começar, porque ela diz-te onde estão os pontos: $6$ pontos na tradução do problema para uma equação, $6$ pontos no gráfico e no ponto assinalado, e apenas $2$ pontos no número final. Um aluno que escreva a equação certa e desenhe o referencial já tem mais de metade da cotação, mesmo que a calculadora lhe falhe.

1.º — escrever o que é «excede em $40\%$ o diâmetro»

O diâmetro da base é $2r$: o raio é $r$ e $[AB]$ é um diâmetro dessa base. Dizer que a distância $d$ excede em $40\%$ o diâmetro é dizer que $d$ é o diâmetro mais $40\%$ do diâmetro:

Esta é uma etapa pontuada por si: reconhecer que exceder em $40\%$ corresponde a $1,4\times 2r$ vale $2$ pontos, mesmo que pares logo a seguir.

⚠️ Repara bem: excede o diâmetro, não o raio. Quem lê «excede o raio» escreve $1,4r$ e perde a equação inteira — e com ela quase todo o item.

2.º — escrever a equação do problema

A distância entre $A$ e $B$ pela superfície é $d(x)$. Impor que ela vale $2,8r$ é escrever

Esta linha vale $2$ pontos, e a nota 1 dos critérios é dura: se não apresentares equação nenhuma, essa etapa é $0$ pontos, e as restantes só te são pontuadas se for inequívoco que o que fizeste corresponde a resolver a equação certa. Conclusão prática: escreve sempre a equação na folha, mesmo que a tua cabeça já esteja na calculadora.

3.º — fazer desaparecer o $r$ — é este passo que torna o item resolúvel

A calculadora não sabe o que é $r$: só desenha funções numéricas. Mas o enunciado diz que $r$ é um número real positivo, logo $2r\ne 0$ e podes dividir ambos os membros por $2r$:

É aqui que a maioria desiste, e é por isso que os critérios lhe dão uma etapa própria de $2$ pontos: fica-se a olhar para um $r$ desconhecido e conclui-se que «faltam dados». Não faltam. O $r$ tem de simplificar, porque a pergunta é sobre um quociente ($x=\frac{r}{a}$) e um quociente não depende do tamanho do cone: um cone e outro dez vezes maior, com a mesma forma, dão a mesma resposta.

4.º — resolver graficamente, com a calculadora

Põe a calculadora em radianos (o argumento do seno é $\frac{\pi }{2}x$) e define as duas funções que correspondem aos dois membros da equação:

Restringe a janela ao domínio $\left]0,1\right[$ — por exemplo $x\in [0,1]$ e $y\in [0,2]$. Neste intervalo $y_1$ é decrescente, aproxima-se de $\frac{\pi }{2}\approx 1,571$ quando $x$ se aproxima de $0$ e vale $1$ em $x=1$; como $1<1,4<\frac{\pi }{2}$, os gráficos cruzam-se exactamente uma vez. A solução é a abcissa do ponto de intersecção.

Na folha, representar os gráficos vale $5$ pontos e assinalar o ponto vale $1$. Isso quer dizer, à letra: desenha o referencial com os eixos identificados e com escala, esboça as duas curvas, e marca o ponto de intersecção com as suas coordenadas.

5.º — ler o valor e arredondar

A calculadora dá para a abcissa do ponto de intersecção

Arredondado às milésimas, $x\approx 0,523$. Esta etapa vale os últimos $2$ pontos.

como se apresenta o resultado

O valor pedido é o quociente entre o raio e a apótema, isto é, um quociente entre dois comprimentos: não leva unidade de medida. Arredonda só no fim, a partir do valor que a calculadora mostra — se arredondares a meio (por exemplo, usares $1,57$ em vez de $\frac{\pi }{2}$) perdes pontos por valores aproximados em cálculos intermédios.

confere que o número faz sentido

Substitui: $\frac{1}{0,523}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}\times 0,523\right)\approx 1,39997$, ou seja, praticamente $1,4$ — a equação fica satisfeita.

E há uma segunda verificação, de graça: o enunciado garante $r<a$, logo $x=\frac{r}{a}<1$. O teu $0,523$ está mesmo em $\left]0,1\right[$. Se te saísse um valor maior do que $1$, ou negativo, sabias imediatamente que estavas a olhar para o ponto errado do ecrã.

onde se perdem os $14$ pontos

• Não escrever equação nenhuma e ir direito à calculadora: pela nota 1, essa etapa é $0$ e as restantes ficam em risco. É a perda mais cara e a mais fácil de evitar.
• Não desenhar o referencial (pela nota 2, a etapa de $5$ pontos é desvalorizada em $1$ ponto): um esboço solto de duas curvas, sem eixos, não é uma representação gráfica.
• Não respeitar o domínio $\left]0,1\right[$ no gráfico (pela nota 3, mais $1$ ponto a menos): desenhar a curva também para $x>1$ ou para $x<0$ é representar outra função.
• Esquecer de assinalar o ponto: é $1$ ponto que se perde por distracção, mesmo com o gráfico impecável.
• Calculadora em graus: $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}x\right)$ passa a ser um número minúsculo, a curva fica quase colada ao eixo e não há intersecção nenhuma com $y=1,4$. Quem vê «no solution» deve desconfiar do modo angular antes de desconfiar da equação.
• Interpretar mal os $40\%$: escrever $d(x)=0,4\times 2r$ (que é $40\%$ do diâmetro, e não «excede em $40\%$») ou $d(x)=1,4r$ (que usa o raio em vez do diâmetro).
• Arredondar mal: apresentar $0,52$ (centésimas) ou $0,5229$ (décimas de milésima) quando foram pedidas as milésimas.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um item diz «recorrendo à calculadora» e «represente o(s) gráfico(s)», ele não está a pedir contas: está a pedir que traduzas o problema numa igualdade entre duas expressões e que mostres o cruzamento. O molde é sempre o mesmo — membro esquerdo $\to y_1$, membro direito $\to y_2$, intersecção $\to$ solução.

E guarda o truque que desbloqueia estes enunciados com letras: se aparece um parâmetro desconhecido em ambos os membros, ele simplifica. Não é sorte do enunciado; é o sinal de que a grandeza pedida é adimensional (um quociente, uma percentagem, uma razão).