Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 12, resolvido

O que governa este item é uma decisão de estratégia, e convém tomá-la antes de escrever a primeira conta: tens três informações, e duas delas são sobre $w$ , não sobre $z$ ( $|w|=5$ e $\mathrm{Re}(w)<0$ ). A terceira, $\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)=0$ , é sobre $z$ . Para as poderes usar todas juntas, tens de as trazer para as mesmas duas incógnitas.

A maneira mais directa é dar nome à parte real e à parte imaginária de $w$ — $w=a+bi$ — e escrever $z$ em função de $a$ e de $b$ . A partir daí, cada informação do enunciado vira uma equação nessas duas letras.

1.º — dar nome ao que se procura

O enunciado pede $w$ na forma $a+bi$ , com $a$ e $b$ reais. Escreve então logo:

Este passo parece trivial e é uma etapa pontuada por si (1 ponto). Não o saltes: é ele que autoriza tudo o que vem a seguir a falar de $a$ e de $b$ .

2.º — escrever $z$ na forma algébrica

Tens $z=\frac{w}{3-4i}$ . Um quociente de complexos não está na forma algébrica enquanto houver $i$ no denominador, e tu precisas de separar $\mathrm{Re}(z)$ de $\mathrm{Im}(z)$ — logo, tens mesmo de racionalizar.

Multiplicas numerador e denominador pelo conjugado do denominador, $3+4i$ . O que isto resolve: o produto de um complexo pelo seu conjugado é sempre real, porque $(c+di)(c-di)=c^2+d^2$ . No teu caso:

(É o mesmo que $|3-4i{|}^2$ — daí o $25$ que vais ver em todos os passos.)

Desenvolve agora o numerador, sem saltar o $i^2=-1$ :

Logo:

E agora podes ler directamente, porque $a$ e $b$ são reais:

3.º — traduzir a condição sobre $z$

A condição $\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)=0$ escreve-se também $\mathrm{Re}(z)=-\mathrm{Im}(z)$ — é a forma que os critérios usam, e dá exactamente na mesma:

Como os denominadores são iguais e $25\ne 0$ , podes multiplicar tudo por $25$ :

Repara no que aconteceu: os termos em $b$ quase se cancelaram ( $-4b+3b=-b$ ) e sobrou uma relação linear muito simples entre $a$ e $b$ . Guarda-a — é ela que vai matar uma das duas incógnitas.

4.º — traduzir a condição sobre o módulo

O módulo de $w=a+bi$ é $|w|=\sqrt{a^2+b^2}$ . De $|w|=5$ vem, elevando ao quadrado (ambos os membros são não negativos, logo a equivalência mantém-se):

Substituis $b$ por $7a$ :

( $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , racionalizando.)

Atenção ao $\pm$ . $a^2=\frac{1}{2}$ dá duas soluções. Quem escreve só a positiva perde o passo seguinte, que é precisamente escolher entre elas.

5.º — usar a condição que falta — e é ela que decide

Falta $\mathrm{Re}(w)<0$ . Como $w=a+bi$ com $a$ real, $\mathrm{Re}(w)=a$ . Logo $a<0$ , e das duas hipóteses fica só uma:

E então $b=7a=-\frac{7\sqrt{2}}{2}$ .

A condição $\mathrm{Re}(w)<0$ não é decoração: sem ela o problema tinha duas respostas. Sempre que um enunciado te dá uma desigualdade destas, é porque ela vai servir para eliminar, e tens de a usar explicitamente na tua resposta.

pela forma de $z$ — mais curto

A condição $\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)=0$ diz que $\mathrm{Im}(z)=-\mathrm{Re}(z)$ . Logo, chamando $a$ à parte real de $z$ (atenção: aqui $a$ é a parte real de $z$ , não de $w$ ):

De $z=\frac{w}{3-4i}$ vem $w=z(3-4i)$ , e assim:

Aqui $\mathrm{Re}(w)=-a$ , e a condição $\mathrm{Re}(w)<0$ dá $-a<0$ , ou seja $a>0$ , logo $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e

⚠️ Repara na inversão do sinal. Neste caminho, $a$ é a parte real de $z$ , e a parte real de $w$ é $-a$ . Quem se distrair e escolher $a<0$ por hábito fica com o simétrico da resposta certa. Este é o preço de um processo mais curto: exige que saibas em cada momento a quem pertence a letra.

pela forma trigonométrica

Como $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$ e $|w|=5$ , o módulo de $z$ sai de graça:

Por outro lado, $\mathrm{Re}(z)=-\mathrm{Im}(z)$ diz que o afixo de $z$ está sobre a bissectriz dos quadrantes pares (a recta de equação $y=-x$ ). Um ponto dessa recta sobre a circunferência de raio $1$ só pode ter argumento $\frac{3\pi }{4}$ ou $-\frac{\pi }{4}$ :

Com $w=z(3-4i)$ , o primeiro caso dá $w=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7\sqrt{2}}{2}i$ , que tem parte real positiva e por isso se rejeita; o segundo dá $w=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{7\sqrt{2}}{2}i$ , que é a resposta.

como se apresenta o resultado

O enunciado pede $w$ na forma $a+bi$ , com $a$ e $b$ reais — portanto a resposta tem de ficar com a parte real e a parte imaginária separadas e simplificadas. Escreve $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , não $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ (radical no denominador não é forma simplificada) nem $-0,707\dots$ (o item não pede aproximação, e arredondar aqui é perder exactidão sem necessidade).

Também não deixes a resposta em $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+7i)$ : é o mesmo número, mas já não está na forma pedida.

confere com as três condições do enunciado

O módulo. $|w{|}^2={\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}+\frac{49\times 2}{4}=\frac{2+98}{4}=25$ , logo $|w|=5$ . ✓

A parte real. $\mathrm{Re}(w)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$ . ✓

A condição sobre $z$ . Com $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $b=-\frac{7\sqrt{2}}{2}$ :

A soma dá $0$ . ✓ As três condições ficam satisfeitas — a resposta está certa.

onde é que este item se perde

Racionalizar mal. O erro clássico é multiplicar o numerador pelo conjugado e esquecer o denominador, ou escrever $(3-4i)(3+4i)=9-16$ . O conjugado dá soma de quadrados: $9+16=25$ . Se puseres $-7$ em vez de $25$ , tudo o que vem a seguir vai por água abaixo.

Esquecer $i^2=-1$ no desenvolvimento. No produto $(a+bi)(3+4i)$ , o termo $4b{i}^2$ vale $-4b$ e é real — vai para a parte real, com sinal trocado. Quem o deixa na parte imaginária obtém $\mathrm{Re}(z)=3a$ e uma relação errada entre $a$ e $b$ . Nos critérios, isto é um erro que revela desconhecimento de uma propriedade: a etapa vale, no máximo, metade.

Ficar com as duas soluções. Se apresentares $w=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{7\sqrt{2}}{2}i\vee w=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7\sqrt{2}}{2}i$ sem escolher, não concluíste o item: falta usar $\mathrm{Re}(w)<0$ , e a última etapa não é pontuada.

Confundir $|w|=5$ com $a+b=5$ . O módulo é a raiz da soma dos quadrados, não a soma das partes.

Apresentar só o resultado final. Este item corrige-se por etapas. Segundo os critérios gerais, uma resposta que apresente apenas o resultado final — mesmo certo — é classificada com zero pontos. Escreve as passagens todas.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

O padrão é sempre o mesmo: condições misturadas sobre dois complexos ligados por uma operação. A receita é dar nome às partes real e imaginária do complexo que te pedem, arrastar as condições todas para essas duas letras, e ficar com um sistema de duas equações — uma linear (vem da condição sobre partes real/imaginária) e uma quadrática (vem do módulo). A linear substitui-se na quadrática, e a desigualdade que sobrou no enunciado é o que desempata o $\pm$ . Se o módulo do divisor for «bonito» (como o $5$ de $3-4i$ ), vale a pena espreitar a forma trigonométrica antes de racionalizar — poupa metade das contas.