Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 7.(AE2023), resolvido

1.º — o que governa o item: a fórmula de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson procura um zero de $f$ substituindo a curva pela sua reta tangente e vendo onde essa reta corta o eixo $Ox$ . A partir de uma aproximação $x_n$, a seguinte é

Aqui só é pedida a primeira iteração, partindo de $x_0=-1$ . Ou seja, tens de calcular três coisas — $f^{\prime }(x)$ , $f(-1)$ e $f^{\prime }(-1)$ — e substituir uma vez. Não há iterações seguintes a fazer.

2.º — a derivada de $f$ — é a etapa mais cara, $4$ pontos

$f(x)=x^2{e}^x-\frac{1}{2}$ é um produto menos uma constante. Aplica a regra do produto, lembrando que ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ e que a derivada de uma constante é $0$ :

Põe $e^x$ em evidência — fica mais simples de avaliar em $-1$ :

Os critérios dão o mínimo de $1$ ponto a quem mostre a intenção de derivar, mesmo com a regra mal aplicada. Escreve sempre a derivada, ainda que não tenhas a certeza.

3.º — avaliar $f$ e $f^{\prime }$ em $x_0=-1$

Cuidado com os dois sinais: $(-1{)}^2=1$ (o quadrado mata o sinal), mas $2\times (-1)=-2$ (este não). O resultado é que $f^{\prime }(-1)$ é negativo.

Em valores aproximados, com as quatro casas decimais que o enunciado exige:

4.º — substituir na fórmula — e vigiar o sinal do quociente

Esta identificação vale $4$ pontos, tantos como a derivada:

O quociente tem numerador negativo e denominador negativo, logo é positivo:

E como a fórmula manda subtrair, o resultado desce:

arredondar só no fim, às milésimas

O enunciado dá duas instruções que se completam: o resultado vai arredondado às milésimas, e os cálculos intermédios conservam pelo menos quatro casas decimais. É por isso que se escreve $0,3679$ e não $0,37$ — com $0,37$ o resultado já não cairia no valor pedido.

Se usares a calculadora sem arredondar nada pelo caminho, obténs $-1,35914\dots$ , que arredondado às milésimas dá o mesmo $-1,359$ .

o resultado faz sentido?

O enunciado garante que o zero está em $\left]-2,0\right[$ , e $-1,359$ está mesmo dentro desse intervalo — primeiro sinal de que não houve troca de sinal.

Podes ir mais longe: $f(-1,359)=(-1,359{)}^2{e}^{-1,359}-0,5\approx 1,8469\times 0,2569-0,5\approx 0,4744-0,5\approx -0,026$ , muito mais perto de zero do que os $-0,132$ de onde partimos. A iteração aproximou-se, como devia.

Se te tivesse saído $-0,641$ (isto é, $-1+0,359$), estarias fora do lado errado e com $f$ a afastar-se de zero — sinal de que trocaste o sinal do quociente.

pela reta tangente (o 2.º processo dos critérios)

Newton-Raphson é a reta tangente, e os critérios aceitam que a resolvas assim, pelos mesmos $14$ pontos. A reta $r$, tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $-1$ , tem declive $f^{\prime }(-1)=-e^{-1}$ e passa em $\left(-1,e^{-1}-\frac{1}{2}\right)$ :

A primeira iteração é a abcissa do ponto onde esta reta corta o eixo $Ox$ , ou seja onde $y=0$ :

Repara no bónus deste caminho: dá o valor exacto, $-\frac{e}{2}$ , e só no fim se arredonda. É uma excelente forma de confirmares o resultado da fórmula.

onde se perdem pontos

• Derivar $x^2{e}^x$ como $2x{e}^x$ , esquecendo a regra do produto. É a perda mais cara: $4$ pontos e, com eles, todo o resto.
• Somar em vez de subtrair na fórmula, ou não reparar que o quociente de dois negativos é positivo. Dá $-0,641$ em vez de $-1,359$ .
• Errar o sinal em $f^{\prime }(-1)$ : $(-1{)}^2=1$ mas $2\times (-1)=-2$ .
• Arredondar a meio a menos de quatro casas. O enunciado proíbe-o expressamente.
• Fazer mais do que uma iteração. É pedida a aproximação da primeira; iterar outra vez dá um valor diferente e perde-se a etapa final.
• Entregar $-\frac{e}{2}$ sem arredondar. O enunciado pede o resultado arredondado às milésimas.
• Responder aos dois itens em alternativa. Os critérios são claros: se responderes ao $7.(\text{AE2018})$ e ao $7.(\text{AE2023})$, classifica-se apenas a primeira resposta. Escolhe um, risca o outro.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Num item de Newton-Raphson com uma só iteração, a pontuação está quase toda antes da conta final: a derivada e a identificação da fórmula valem $8$ dos $14$ pontos. Escreve sempre $f^{\prime }(x)$ e a expressão $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$ , mesmo que a aritmética te corra mal — é onde está o dinheiro.