Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 4, resolvido

como este item é pontuado

Os $12$ pontos não se repartem espaço a espaço: atribuem-se por níveis de desempenho, contando quantas das quatro letras ficam certas — $12$ pontos com as $4$ certas, $8$ pontos com $3$, $4$ pontos com $2$, e zero com $1$ ou nenhuma.

Daqui sai uma consequência prática: não há penalização por errar, e cada letra a mais que acertes pode valer um escalão inteiro. Responde sempre às quatro, mesmo que numa tenhas de escolher por eliminação.

monta as duas listas antes de ler os espaços

As quatro letras saem todas da mesma tabela, e três delas do mesmo menu da calculadora. Mete a coluna da habitação numa lista ($L_1$, o $x$) e a da alimentação noutra ($L_2$, o $y$), e pede uma só vez as estatísticas de duas variáveis. Ficas com tudo o que precisas: os dois desvios padrão, o coeficiente de correlação e os dois parâmetros da reta de regressão.

Repara na leitura da tabela antes de calcular: a coluna $x$ sobe ao longo dos anos ($12,4\to 39,0$) e a coluna $y$ desce ($29,5\to 12,9$). Esta observação vai dar-te o sinal do espaço (c) de graça.

(a) — comparar dois desvios padrão, não duas tendências

O desvio padrão mede a dispersão em torno da média, em unidades da própria variável. Com as duas listas na calculadora:

Como $8,43>5,90$, o desvio padrão das percentagens da habitação é superior ao das percentagens da alimentação — opção (3).

Nota útil: a conclusão não depende da convenção que a tua calculadora usa. Com o desvio padrão amostral dá $s_x\approx 9,23$ e $s_y\approx 6,46$, e a comparação é exactamente a mesma. Não percas tempo a decidir qual das duas teclas usar.

(b) — a percentagem e o valor em euros referem-se ao MESMO total

A tabela dá percentagens da despesa total anual média, não euros. Logo, o que liga os $3121$ euros aos $39,0\%$ é o total, e é ele que tens de encontrar primeiro.

Em 2022/2023 a alimentação foi $12,9\%$ do total $t$:

A habitação é $39,0\%$ desse mesmo total:

Arredondado às unidades, $9436$ euros — opção (3).

O passo que decide este espaço é o primeiro: sem passar pelo total, a percentagem da habitação não tem a que se aplicar.

(c) — o coeficiente de correlação linear

Com as duas listas já montadas, a calculadora devolve

que, arredondado às centésimas, dá $-0,93$ — opção (1).

O sinal confirma-se sem contas: quando a percentagem gasta em habitação sobe, a percentagem gasta em alimentação desce, portanto a associação é negativa. E $|r|$ perto de $1$ diz que os seis pontos estão quase sobre uma reta — é isso que justifica usar o modelo linear no espaço seguinte.

(d) — a reta de regressão de $y$ em função de $x$

O enunciado é explícito: modelo de $y$ em função de $x$, com os parâmetros arredondados às milésimas. Da mesma calculadora:

Em 2000 a habitação foi $19,8\%$ do total, ou seja $x=19,8$. Substitui:

Arredondado às décimas, $22,2\%$ — opção (2).

Repara em quem é quem: $x$ é a habitação e $y$ é a alimentação. O $19,8\%$ é um valor de habitação, logo entra como $x$ e sai um $y$. Trocar os papéis é o erro mais caro deste espaço.

os arredondamentos são instruções, não sugestões

Cada espaço diz onde parar: (b) às unidades, (c) às centésimas, (d) às décimas e com os parâmetros às milésimas. Arredonda só no fim de cada conta — se arredondares o declive antes de o multiplicar por $19,8$, sais fora da opção correcta.

de onde vem cada opção errada

(a) (1) inferior — apanha quem compara a dispersão relativa em vez da absoluta: $\frac{8,43}{26,62}\approx 0,32$ para a habitação contra $\frac{5,90}{17,75}\approx 0,33$ para a alimentação. Em termos relativos é mesmo menor, mas o enunciado pergunta pelo desvio padrão, não pelo coeficiente de variação. (a) (2) igual — apanha quem olha só para a tabela e vê as duas colunas «a mexer o mesmo».

(b) (1) $1217$ — é $0,39\times 3121$, isto é, aplicar a percentagem da habitação ao valor da alimentação em vez de ao total. (b) (2) $4338$ — é $3121+1217$, somar esse valor errado à despesa de alimentação.

(c) (3) $0,86$ — é $r^2\approx 0,857$, o coeficiente de determinação, que vem sempre positivo. Se leres o ecrã na linha errada cais aqui. (c) (2) $-0,88$ — é o tipo de valor que sai quando um par de dados entra trocado ou em falta nas listas; se te aparecer, confere as seis linhas antes de aceitar.

(d) (3) $35,0\%$ — é a ordenada na origem, $35,006$, ou seja o valor que o modelo daria para $x=0$: é o que se escreve quando se esquece de substituir o $19,8$. (d) (1) $20,2\%$ — sai de arredondar o declive de forma grosseira antes de o usar (com $-0,75$ em vez de $-0,648$ obténs $\approx 20,2$), contra a instrução de arredondar às milésimas.

onde se perdem pontos

• Deixar espaços em branco. Não há penalização por errar e cada acerto pode subir um nível — responde sempre aos quatro.
• Confundir desvio padrão com variância, ou com a amplitude, em (a).
• Em (b), aplicar a percentagem directamente aos $3121$ euros sem passar pelo total da despesa.
• Em (c), escrever o valor sem sinal, ou dar $r^2$ em vez de $r$.
• Em (d), usar a reta de regressão de $x$ em função de $y$, ou meter o $19,8$ no lugar do $y$.
• Arredondar a meio. Guarda os parâmetros com as milésimas pedidas e arredonda só o resultado final.