Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 7.(AE2018), resolvido

1.º — o que governa o item: monotonia estuda-se pelo sinal de $u_{n+1}-u_n$

Estudar uma sucessão quanto à monotonia é responder a uma única pergunta: cada termo é maior ou menor do que o anterior? A ferramenta é sempre a mesma — o sinal da diferença $u_{n+1}-u_n$ :

• se $u_{n+1}-u_n>0$ para todo o $n$, a sucessão é monótona crescente;
• se $u_{n+1}-u_n<0$ para todo o $n$, é monótona decrescente;
• se o sinal mudar, não é monótona.

Atenção a uma tentação: calcular $u_1,u_2,u_3$ e ver que sobem não é demonstração, é indício. O que o item pede é uma prova válida para qualquer $n$, e os critérios exigem-na explicitamente.

2.º — escrever $u_{n+1}$ — substituir $n$ por $n+1$ em todo o lado

Esta é a etapa que vale $4$ pontos e é onde mais gente escorrega: tens de substituir o $n$ em todas as ocorrências, no numerador e no denominador.

Faz sempre esta simplificação antes de avançar — trabalhar com $3(n+1)+5$ por dentro da subtração multiplica as hipóteses de erro de sinal.

3.º — a diferença, reduzida ao mesmo denominador

Agora a subtração, com denominador comum $(n+2)(n+3)$ . É aqui que estão os $5$ pontos mais pesados do item.

Desenvolve os dois produtos com cuidado, um de cada vez:

Repara no que acontece: os termos em $n^2$ e em $n$ são iguais nos dois produtos e anulam-se. Sobra a diferença das constantes, $16-15=1$ :

⚠️ O menos aplica-se ao parêntesis inteiro. Esquecer de distribuir o sinal pelos três termos de $(3n+5)(n+3)$ é o erro que dá um numerador em $n$ e deita o item fora.

4.º — concluir o sinal — e dizê-lo por extenso

Não basta chegar à fração; tens de justificar que ela é positiva, e isso vale $3$ pontos por si.

Como $n\in \mathbb{N}$ , tem-se $n\ge 1$ , logo $n+2\ge 3>0$ e $n+3\ge 4>0$ . O produto de dois números positivos é positivo, portanto $(n+2)(n+3)>0$ . E o quociente de $1$ (positivo) por um número positivo é positivo:

5.º — a frase final, que vale $2$ pontos

A conclusão tem de ser escrita, com o nome da propriedade:

A sucessão $(u_n)$ é monótona crescente.

Parar no «$u_{n+1}-u_n>0$» sem esta frase custa-te $2$ dos $14$ pontos. É a etapa mais barata de ganhar do exame inteiro.

confere com dois termos e com o limite

$u_1=\frac{8}{3}\approx 2,67$ e $u_2=\frac{11}{4}=2,75$ — sobe, como esperávamos.

E repara na forma da sucessão: $u_n=\frac{3n+5}{n+2}=\frac{3(n+2)-1}{n+2}=3-\frac{1}{n+2}$ . À medida que $n$ cresce, $\frac{1}{n+2}$ diminui, logo o que se subtrai a $3$ é cada vez menor e $u_n$ sobe, aproximando-se de $3$ por baixo. Este é um óptimo controlo mental, mas não substitui a demonstração pela diferença.

pela decomposição $3-\frac{1}{n+2}$

Se escreveres $u_n=3-\frac{1}{n+2}$ logo de início, a diferença sai quase sem contas:

Chegas exactamente à mesma expressão, com muito menos álgebra. Os critérios aceitam «ou equivalente», portanto este caminho vale a cotação toda.

onde se perdem pontos

• Substituir $n$ por $n+1$ só no numerador ou só no denominador. Perdes a etapa de $4$ pontos e tudo o que vem depois.
• Não distribuir o sinal de menos por todo o produto $(3n+5)(n+3)$ .
• Provar com termos concretos ($u_1<u_2<u_3$) em vez de provar para qualquer $n$. Não é demonstração.
• Chegar a $\frac{1}{(n+2)(n+3)}$ e não dizer porque é positivo. A justificação do sinal é etapa pontuada.
• Esquecer a conclusão «monótona crescente». São $2$ pontos que já estão ganhos e se deixam na mesa.
• Responder aos dois itens em alternativa. Os critérios são claros: se responderes ao $7.(\text{AE2018})$ e ao $7.(\text{AE2023})$, classifica-se apenas a primeira resposta. Escolhe um, risca o outro.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que a sucessão for um quociente de dois polinómios do primeiro grau, a diferença $u_{n+1}-u_n$ vai ter numerador constante — os termos em $n^2$ e em $n$ cancelam-se sempre. Logo o sinal da monotonia é decidido por esse único número, e nunca há mudança de sentido: uma sucessão destas ou é sempre crescente ou é sempre decrescente.