Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 1, resolvido

O que governa este item. $u_n$ é o quociente de dois polinómios em $n$, ambos de grau $1$. Quando $n\to +\infty$, o numerador tende para $+\infty$ e o denominador também: tens a indeterminação $\frac{\infty }{\infty }$. A regra que a desfaz é sempre a mesma — põe em evidência a maior potência de $n$, em cima e em baixo.

1.º — pôr $n$ em evidência

O $n$ simplifica porque $n\in \mathbb{N}$ e, portanto, $n\ne 0$. Repara no que ganhaste: já não há infinito nenhum à vista — sobram duas parcelas que sabes para onde vão.

2.º — usar $\frac{k}{n}\to 0$

Para qualquer constante $k$, $\lim \frac{k}{n}=0$: o denominador cresce sem limite e o numerador está preso. Logo

A resposta é a opção (A).

a fracção fica irredutível

$\frac{2}{3}$ já é irredutível ($2$ e $3$ não têm divisores comuns), e é assim que a opção aparece. Se o teu resultado saísse, por exemplo, $\frac{4}{6}$, tinhas de o simplificar antes de procurar a opção — o exame nunca apresenta a mesma fracção em duas formas.

o atalho que fica para a próxima

Num quociente de polinómios do mesmo grau, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. As parcelas $+4$ e $+5$ não contam para nada: quando $n$ é enorme, $2n$ esmaga o $4$ e $3n$ esmaga o $5$. Guarda os três casos: grau do numerador menor que o do denominador $\Rightarrow$ limite $0$; graus iguais $\Rightarrow$ quociente dos coeficientes principais; grau do numerador maior $\Rightarrow$ limite infinito.

de onde vem cada opção errada

• (B) $\frac{4}{5}$ — é o quociente dos termos independentes. Quem escolhe esta olhou exactamente para as duas parcelas que deixam de contar quando $n$ cresce.
• (C) $\frac{5}{4}$ — é o inverso de (B): o mesmo erro de (B), com o numerador e o denominador trocados.
• (D) $\frac{3}{2}$ — é o inverso da resposta certa. Vem de ler primeiro o coeficiente de baixo. Confere sempre a ordem: em cima fica o coeficiente do numerador, que aqui é $2$.

onde se perdem os $12$ pontos

Item de escolha múltipla: é tudo ou nada, não há crédito parcial nem penalização por errar — deixar em branco é o único erro com perda garantida. As duas armadilhas são (i) responder de cabeça com os números $4$ e $5$ à vista e (ii) inverter a fracção final. Faz a conta no rascunho, escreve $\frac{2}{3}$, e só depois procuras a opção que lhe corresponde.