Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 11.2, resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2025 · 2.ª fase

11.

Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $R$ , cuja derivada, $g^{'}$ , é definida por

g^{'} (x) = cos (3 x) + \frac{3}{2} x + 1

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.2.

Seja $r$ a reta tangente ao gráfico da função $g$ no ponto de abcissa $0$ , e seja $s$ uma reta perpendicular à reta $r$ .

Sabe-se que:

a reta $s$ intersecta os eixos $O x$ e $O y$ nos pontos $A$ e $B$ , respetivamente;
o ponto $A$ tem abcissa positiva;
o triângulo $[O A B]$ tem área igual a $12$ .

Determine a abcissa do ponto $A$ .

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

O declive da reta $r$ , tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $0$ , é $g^{'} (0)$ .

$g^{'} (0) = cos (3 \times 0) + \frac{3}{2} \times 0 + 1 = 1 + 1 = 2$

Como $s$ é perpendicular a $r$ , o seu declive é $m_{s} = - \frac{1}{g ^{'} ( 0 )} = - \frac{1}{2}$ .

Sejam $A = (x_{A}, 0)$ e $B = (0, y_{B})$ . O declive da reta $s$ é $\frac{y _{B} - 0}{0 - x _{A}} = - \frac{y _{B}}{x _{A}}$ .

Então $- \frac{y _{B}}{x _{A}} = - \frac{1}{2}$ , ou seja, $y_{B} = \frac{x _{A}}{2}$ .

Como $x_{A} > 0$ , tem-se $y_{B} = \frac{x _{A}}{2} > 0$ e, portanto, $∣ y_{B} ∣ = y_{B}$ .

O triângulo $[O A B]$ é retângulo em $O$ , pelo que a sua área é $\frac{x _{A} \times ∣ y _{B} ∣}{2}$ .

$\frac{x _{A} \times \frac{x _{A}}{2}}{2} = 12 ⟺ \frac{x _{A}^{2}}{4} = 12 ⟺ x_{A}^{2} = 48$

Como $x_{A} > 0$ , vem $x_{A} = 48 = 43$ .

A abcissa do ponto $A$ é $43$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este item cruza três coisas que já sabes, e é o cruzamento que ele mede: derivada como declive da tangente, perpendicularidade de retas, e a área de um triângulo rectângulo formado com os eixos.

Antes de qualquer conta, desenha. A reta $s$ corta $O x$ em $A = (x_{A}, 0)$ e $O y$ em $B = (0, y_{B})$ . O triângulo $[O A B]$ tem o ângulo recto na origem, logo os catetos são $\overline{O A} = x_{A}$ (positivo, diz-te o enunciado) e $\overline{O B} = ∣ y_{B} ∣$ .

1.º — a área dá-te a relação entre $x_{A}$ e $y_{B}$

\overset{ˊ}{A} rea = \frac{O A \times O B}{2} = \frac{x _{A} \times ∣ y _{B} ∣}{2} = 12

Escreveres isto vale 1 ponto. Repara no módulo: ainda não sabes o sinal de $y_{B}$ , e área é sempre positiva.

2.º — o declive de $r$ é $g^{'} (0)$

A reta $r$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $0$ . É esta a definição geométrica de derivada: o declive da tangente num ponto é o valor da derivada nesse ponto.

m_{r} = g^{'} (0)

Dizer isto é uma etapa de 2 pontos — a mais bem paga do início do item. Não a dês por implícita: escreve-a.

Agora calculas, com a expressão que o enunciado te deu:

g^{'} (0) = cos (3 \times 0) + \frac{3}{2} \times 0 + 1 = cos 0 + 0 + 1 = 1 + 1 = 2

m_{r} = 2

Nota bem: precisas de $g^{'} (0)$ , não de $g (0)$ . O ponto de tangência não interessa para nada neste item — só o declive.

3.º — de $r$ perpendicular a $s$ tira-se o declive de $s$

Duas retas não verticais são perpendiculares quando o produto dos declives é $- 1$ :

m_{r} \times m_{s} = - 1 ⟺ m_{s} = - \frac{1}{m _{r}} = - \frac{1}{g ^{'} ( 0 )}

m_{s} = - \frac{1}{2}

São 2 pontos (1 pelo reconhecimento, 1 pelo valor). O declive de $s$ é negativo — e isso, daqui a pouco, é o que garante que $B$ está acima da origem.

4.º — o declive de $s$ escrito com $A$ e $B$

A reta $s$ passa por $A = (x_{A}, 0)$ e por $B = (0, y_{B})$ . O declive é a razão entre a variação em $y$ e a variação em $x$ :

m_{s} = \frac{y _{B} - 0}{0 - x _{A}} = - \frac{y _{B}}{x _{A}}

Etapa de 2 pontos. É a ponte entre a geometria e a álgebra: é aqui que o declive deixa de ser um número solto e passa a ligar as duas incógnitas.

Igualando ao valor que já tens:

- \frac{y _{B}}{x _{A}} = - \frac{1}{2} ⟺ \frac{y _{B}}{x _{A}} = \frac{1}{2} ⟺ y_{B} = \frac{x _{A}}{2}

5.º — tirar o módulo, com justificação

Aqui está a etapa que quase toda a gente salta — e vale 1 ponto por si: $y_{B} > 0$ .

Porquê? Porque $x_{A} > 0$ (o enunciado diz que $A$ tem abcissa positiva) e $y_{B} = \frac{x _{A}}{2}$ ; o quociente de um positivo por $2$ é positivo. Logo $∣ y_{B} ∣ = y_{B}$ e podes deitar fora o módulo com direito a fazê-lo.

6.º — montar e resolver a equação

\frac{x _{A} \times \frac{x _{A}}{2}}{2} = 12 ⟺ \frac{x _{A}^{2}}{4} = 12 ⟺ x_{A}^{2} = 48

x_{A} = 48 \lor x_{A} = - 48

Como $x_{A} > 0$ , fica $x_{A} = 48$ . Simplificando o radical: $48 = 16 \times 3$ , logo

x_{A} = 16 \times 3 = 43

a raiz simplifica-se

O item é sem calculadora, por isso a resposta tem de sair em forma exacta. $48$ está certo, mas apresenta-se simplificado: $43$ . E rejeita explicitamente a raiz negativa, dizendo porquê — é o enunciado que te obriga ( $A$ tem abcissa positiva).

pela equação reduzida da reta $s$

O critério aceita um segundo caminho, que passa pela equação de $s$ em vez do declive entre dois pontos. Com $m_{s} = - \frac{1}{2}$ e ordenada na origem $y_{B}$ :

s : y = - \frac{1}{2} x + y_{B}

Como $A = (x_{A}, 0)$ pertence a $s$ :

0 = - \frac{1}{2} x_{A} + y_{B} ⟺ y_{B} = \frac{x _{A}}{2}

e a partir daqui é igual. Dá exactamente os mesmos 14 pontos — escolhe o que te sair mais natural.

confere a área com o valor obtido

Com $x_{A} = 43$ , vem $y_{B} = \frac{4 3}{2} = 23$ . Área $= \frac{4 3 \times 2 3}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$ . Bate. E $43 \approx 6, 9$ , um valor positivo e razoável.

onde é que se perdem pontos

Usar $g (0)$ em vez de $g^{'} (0)$ . O enunciado nem te dá $g$ — se foste procurar $g (0)$ , leste o item ao contrário.
Esquecer o sinal na perpendicularidade e pôr $m_{s} = \frac{1}{2}$ . Duas etapas por terra, e depois a área dá o mesmo número por acaso — o erro fica invisível para ti, mas não para quem corrige.
Escrever $m_{s} = \frac{y _{B}}{x _{A}}$ (sem o sinal menos). A ordem é $\frac{y _{B} - 0}{0 - x _{A}}$ : o denominador é $- x_{A}$ .
Não justificar $y_{B} > 0$ . É 1 ponto, está lá à espera, e escreve-se numa linha.
Ficar por $x_{A}^{2} = 48$ ou dar as duas raízes sem escolher. O item pede a abcissa: tens de concluir $43$ e dizer porque rejeitaste a negativa.
Usar a calculadora e responder $6, 93$ . É item sem calculadora; a forma exacta é obrigatória.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Triângulo formado por uma reta com os dois eixos $\Rightarrow$ os catetos são $∣ x_{A} ∣$ e $∣ y_{B} ∣$ , e a reta liga-os pelo declive $- \frac{y _{B}}{x _{A}}$ . Junta a isso a regra $m_{1} m_{2} = - 1$ e a leitura «declive da tangente $=$ derivada», e tens o item inteiro em três linhas de estratégia.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

Como te correu?

Este tópico tem mais 18 exercícios resolvidos

Ler um resolve hoje; fazer o tópico inteiro é o que muda a nota.

✓Treinar o tópico inteiro, um a um
✓O que erras volta sozinho, no dia em que ias esquecer
✓Fazer o exame completo a tempo, como no dia
✓Ver o que já sabes, tópico a tópico

Treinar Cálculo diferencialGrátis. Os enunciados e as resoluções ficam sempre abertos.

← AnteriorItem 11.1 · Derivadas Seguinte →Item 12 · Função exponencial