Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 3.1, resolvido

O que governa este item. $f$ está definida por três ramos e $x=0$ é exactamente a fronteira entre eles. A definição de continuidade num ponto diz que $f$ é contínua em $x=0$ se e só se

São três números para calcular, e a igualdade tem de valer entre os três. Escrever esta condição antes de qualquer conta vale $2$ dos $14$ pontos por si só — é uma etapa pontuada de forma independente, e conta mesmo que depois erres um dos limites. Começa sempre por aí.

1.º — o valor da função no ponto

O ramo do meio foi escrito precisamente para $x=0$, por isso dá-te $f(0)$ sem conta nenhuma:

Parece pouco para escrever, mas é $1$ ponto na grelha. Escreve-o na folha.

2.º — o limite à direita

Para $x\to 0^{+}$ aproximas-te de $0$ por valores positivos, logo o ramo que manda é o de $x>0$:

Aqui não há indeterminação: o denominador tende para $1\ne 0$, por isso substituis directamente. Cuidado com o logaritmo — dentro dele fica $e\times 0+e=e$, e $\ln e=1$:

3.º — o limite à esquerda — e a indeterminação

Para $x\to 0^{-}$ estás no ramo de $x<0$:

Indeterminação $\frac{0}{0}$. Esta é a etapa mais pesada do item — $8$ dos $14$ pontos. O que a levanta é o limite notável que tens no formulário:

e todo o trabalho consiste em fazer aparecer essa forma exacta: um $e^{\square }-1$ em cima e o mesmo $\square$ em baixo. No que tens, o expoente é $-x$ e o denominador é $x$ — não batem, e é por isso que não podes aplicar o limite notável de imediato.

4.º — mudança de variável $y=-x$

Faz $y=-x$, ou seja $x=-y$. Como $x\to 0^{-}$ (valores negativos) e $y$ é o simétrico de $x$, então $y\to 0^{+}$:

O sinal de menos do denominador serviu para trocar a ordem do numerador: $\frac{1-e^y}{-y}=\frac{-(e^y-1)}{-y}=\frac{e^y-1}{y}$. Escrever a mudança de variável, com a indicação de para onde vai $y$, vale $4$ pontos — não a faças de cabeça nem a deixes implícita.

o mesmo limite, só com álgebra

O critério aceita um segundo processo, que dispensa a mudança de variável. Escreve $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ e junta as fracções do numerador:

Repara que o limite notável já está dentro desta expressão. Separa-o num produto de dois limites, ambos finitos:

Dá o mesmo valor e vale a mesma cotação. Escolhe o processo que dominas melhor e escreve-o por inteiro.

5.º — a conclusão — e ela tem de ser escrita

Os três números coincidem:

Logo $f$ é contínua em $x=0$. A frase de conclusão vale $1$ ponto, e é a mais fácil de perder por pressa: o item diz «Averigue», e averiguar acaba com uma resposta dita por palavras.

bate certo, sem calculadora?

Usa a aproximação $e^u\approx 1+u$ para $u$ perto de $0$. No ramo da esquerda, $1-e^{-x}\approx 1-(1-x)=x$, portanto $\frac{1-e^{-x}}{x}\approx \frac{x}{x}=1$. No ramo da direita, com $x$ pequeno, $\frac{x^2+\ln (ex+e)}{x+1}\approx \frac{0+1}{1}=1$. Os dois lados encostam a $1$, que é o valor de $f(0)$ — coerente com a conclusão.

onde se perdem pontos

• Não escrever a condição de continuidade ($2$ pontos). Muitos começam logo a calcular limites. Escreve primeiro a igualdade dos três objectos; é cotação garantida.
• Esquecer $f(0)$ ($1$ ponto). Calcular os dois limites laterais e vê-los iguais só prova que existe $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ — não prova que a função é contínua. Faltava compará-los com o valor da função.
• Esquecer a frase final ($1$ ponto). Dois pontos perdidos entre este e o anterior, em duas linhas que não custam conta nenhuma.
• Ler mal $\ln (ex+e)$. Em $x=0$ dá $\ln e=1$, não $\ln 0$ nem $0$. Um engano aqui estraga o limite à direita inteiro e arrasta a conclusão.
• Aplicar o limite notável sem acertar o expoente. $\frac{1-e^{-x}}{x}$ não é $\frac{e^x-1}{x}$: o sinal do expoente é outro. Sem a mudança de variável (ou sem a manipulação alternativa) perdes a maior fatia do item.
• Trocar o sentido de $y$. Com $y=-x$ e $x\to 0^{-}$, é $y\to 0^{+}$. Escrever $y\to 0^{-}$ é um erro de notação que o classificador vê, e é justamente a etapa de $4$ pontos.

o padrão que se repete

Sempre que um item pede continuidade num ponto de mudança de ramo, o guião é o mesmo e nunca muda: (1) escreve a condição dos três objectos; (2) calcula $f(a)$; (3) calcula cada limite lateral no ramo que lhe corresponde; (4) compara e conclui por palavras. Quando um dos lados tem uma exponencial ou um seno junto de $0$, procura o limite notável do formulário e pergunta-te «o que está no expoente tem de estar no denominador — está?».