Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 11.1, resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2025 · 2.ª fase

11.

Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $R$ , cuja derivada, $g^{'}$ , é definida por

g^{'} (x) = cos (3 x) + \frac{3}{2} x + 1

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.1.

Estude a função $g$ , no intervalo $] 0, \frac{π}{2} [$ , quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função $g$ tem concavidade voltada para baixo;
o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função $g$ tem concavidade voltada para cima;
as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função $g$ .

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

$g^{''} (x) = (cos (3 x) + \frac{3}{2} x + 1)^{'} = - 3 sen (3 x) + \frac{3}{2}$

$g^{''} (x) = 0 ⟺ - 3 sen (3 x) + \frac{3}{2} = 0 ⟺ sen (3 x) = \frac{1}{2}$

$⟺ 3 x = \frac{π}{6} + 2 k π \lor 3 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$⟺ x = \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3} \lor x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z$

No intervalo $] 0, \frac{π}{2} [$ , os zeros de $g^{''}$ são $\frac{π}{18}$ e $\frac{5 π}{18}$ .

$x$	$0$		$\frac{π}{18}$		$\frac{5 π}{18}$		$\frac{π}{2}$
$g^{''} (x)$	n.d.	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	n.d.
$g$		$⌣$	P.I.	$⌢$	P.I.	$⌣$

Assim, no intervalo $] 0, \frac{π}{2} [$ :

o gráfico de $g$ tem a concavidade voltada para baixo em $[\frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}]$ ;

o gráfico de $g$ tem a concavidade voltada para cima em $] 0, \frac{π}{18}]$ e em $[\frac{5 π}{18}, \frac{π}{2} [$ ;

as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico de $g$ são $\frac{π}{18}$ e $\frac{5 π}{18}$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

O item pergunta pelas concavidades e pelos pontos de inflexão do gráfico de $g$ . Quem governa as duas coisas é a segunda derivada, $g^{''}$ : onde $g^{''} > 0$ a concavidade está voltada para cima, onde $g^{''} < 0$ está voltada para baixo, e um ponto de inflexão é onde $g^{''}$ muda de sinal.

Repara no presente que te dão: o enunciado já te entrega $g^{'}$ . Não tens de derivar $g$ (que nem sequer conheces) — tens de derivar uma vez a expressão que está escrita.

1.º — derivar $g^{'}$ para obter $g^{''}$

g^{'} (x) = cos (3 x) + \frac{3}{2} x + 1

Derivas parcela a parcela. O $cos (3 x)$ é uma função composta: a derivada de $cos u$ é $- u^{'} sen u$ , e aqui $u = 3 x$ , logo $u^{'} = 3$ .

g^{''} (x) = - 3 sen (3 x) + \frac{3}{2}

O $+ 1$ é constante e desaparece; o $\frac{3}{2} x$ deixa o coeficiente $\frac{3}{2}$ .

Esta etapa vale 2 pontos por si. Cuidado com o erro que o item convida a cometer: derivar a composta como se fosse simples e escrever $- sen (3 x)$ , esquecendo o factor $3$ de dentro.

2.º — resolver $g^{''} (x) = 0$

Escreveres a equação é, sozinho, 1 ponto.

- 3 sen (3 x) + \frac{3}{2} = 0 ⟺ 3 sen (3 x) = \frac{3}{2} ⟺ sen (3 x) = \frac{1}{2}

Agora a equação trigonométrica. $sen θ = \frac{1}{2}$ tem, em cada volta, duas soluções: a do primeiro quadrante, $θ = \frac{π}{6}$ , e a simétrica em relação ao eixo vertical, $θ = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ .

3 x = \frac{π}{6} + 2 k π \lor 3 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z

x = \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3} \lor x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z

3.º — ficar só com o que está no intervalo pedido

O estudo é em $] 0, \frac{π}{2} [$ , e $\frac{π}{2} = \frac{9 π}{18}$ . Com $k = 0$ obténs $\frac{π}{18}$ e $\frac{5 π}{18}$ — ambos entre $0$ e $\frac{9 π}{18}$ . Qualquer outro $k$ atira-te para fora do intervalo.

Os zeros de $g^{''}$ em $] 0, \frac{π}{2} [$ são $\frac{π}{18}$ e $\frac{5 π}{18}$ — etapa de 3 pontos.

4.º — o quadro de sinal

Ter os zeros não chega: eles só dizem onde pode haver mudança, não dizem qual é o sinal de cada lado. O quadro de sinal é uma etapa pontuada por si (3 pontos) e não se pode saltar.

Escreve $g^{''} (x) = 3 (\frac{1}{2} - sen (3 x))$ : o sinal de $g^{''}$ é o sinal de $\frac{1}{2} - sen (3 x)$ , ou seja, $g^{''} > 0$ exactamente quando $sen (3 x) < \frac{1}{2}$ .

Em $] 0, \frac{π}{2} [$ o arco $3 x$ percorre $] 0, \frac{3 π}{2} [$ . Entre $0$ e $\frac{π}{6}$ o seno ainda não chegou a $\frac{1}{2}$ ; entre $\frac{π}{6}$ e $\frac{5 π}{6}$ está acima de $\frac{1}{2}$ ; depois de $\frac{5 π}{6}$ volta a descer abaixo de $\frac{1}{2}$ .

$x$	$0$		$\frac{π}{18}$		$\frac{5 π}{18}$		$\frac{π}{2}$
$g^{''} (x)$	n.d.	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	n.d.
gráfico de $g$		$⌣$	P.I.	$⌢$	P.I.	$⌣$

Se preferires, confirma com um valor de teste em cada troço — por exemplo $x = \frac{π}{6}$ está entre os dois zeros e dá $3 x = \frac{π}{2}$ , logo $sen (3 x) = 1 > \frac{1}{2}$ e $g^{''} (\frac{π}{6}) = - 3 + \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} < 0$ .

5.º — ler as três respostas pedidas

Concavidade voltada para baixo (onde $g^{''} < 0$ ): $[\frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}]$ .

Concavidade voltada para cima (onde $g^{''} > 0$ ): $] 0, \frac{π}{18}]$ e $[\frac{5 π}{18}, \frac{π}{2} [$ .

Abcissas dos pontos de inflexão: $\frac{π}{18}$ e $\frac{5 π}{18}$ — porque em cada um deles $g^{''}$ muda mesmo de sinal.

fechado ou aberto nos zeros?

O critério aceita as duas escritas. Podes dar os intervalos abertos $] 0, \frac{π}{18} [$ e $] \frac{5 π}{18}, \frac{π}{2} [$ para cima, e $] \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18} [$ para baixo — a etapa conta-se como cumprida na mesma. O que não podes é incluir $0$ ou $\frac{π}{2}$ , que estão fora do intervalo de estudo.

os dois zeros têm de estar dentro

$\frac{π}{18} \approx 0, 17$ e $\frac{5 π}{18} \approx 0, 87$ , e $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ . Os dois caem mesmo em $] 0; 1, 57 [$ . Se te tivesse saído um valor maior do que $\frac{π}{2}$ , havia erro na passagem de $3 x$ para $x$ .

onde é que se perdem pontos

Derivar mal a composta: escrever $- sen (3 x)$ em vez de $- 3 sen (3 x)$ . Perde a etapa dos 2 pontos e estraga tudo o que vem a seguir. (Se for evidente a intenção de derivar $g^{'}$ , o critério ainda dá 1 ponto mínimo a esta etapa.)
Esquecer a segunda solução da equação trigonométrica. Ficar só com $3 x = \frac{π}{6}$ dá um único zero, faz desaparecer um ponto de inflexão e deita fora a etapa de 3 pontos.
Dividir mal por 3: escrever $x = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$ — dividiste a parte de $k$ mas esqueceste-te de dividir o $\frac{π}{6}$ .
Saltar o quadro de sinal e ir directo às conclusões. São 3 pontos que se perdem mesmo com a resposta final certa: sem quadro não mostraste porque é que a concavidade é aquela.
Confundir $g^{'}$ com $g^{''}$ : estudar o sinal de $g^{'}$ dá monotonia, não concavidade. É o erro mais caro, porque responde a outra pergunta.
Concluir ponto de inflexão só porque $g^{''} = 0$ . Tens de dizer que há mudança de sinal — é isso que faz o ponto de inflexão.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que o enunciado diz «concavidades» ou «pontos de inflexão», o caminho é fixo: $g^{''} \to$ zeros de $g^{''} \to$ quadro de sinal $\to$ conclusões. E repara no atalho de leitura: quando te dão $g^{'}$ (e não $g$ ), estás a uma derivada da resposta, não a duas.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

Como te correu?

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