Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 10.1, resolvido

Este item parece pedir contas com coordenadas e não pede nenhuma. Repara no que está em jogo: $A$ , $B$ e $C$ são três vértices da base, que é um quadrado de lado $\sqrt{6}$ . Tudo o resto do enunciado — o centro $M$ , o plano, o volume, a abcissa de $V$ — serve os outros itens do grupo, não este. Reconhecer isso é metade do trabalho.

o que é que sabes da base

$[ABCD]$ é um quadrado de lado $\overline{AB}=\sqrt{6}$ . Num quadrado, os vértices estão por esta ordem, portanto $[AB]$ e $[BC]$ são lados consecutivos e $[AC]$ é uma diagonal.

Daqui saem duas coisas: $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ , e o ângulo $B\hat{A}C$ , que a diagonal faz com o lado, é de $\frac{\pi }{4}$ , porque a diagonal de um quadrado bissecta o ângulo recto do vértice.

o caminho curto — decompor o vetor

Há dois caminhos e o mais rápido nem precisa do comprimento da diagonal. Escreve $\overrightarrow{AC}$ como soma de dois vetores que conheces:

Agora usa a linearidade do produto escalar:

A segunda parcela é zero, porque $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ são perpendiculares — é o que quer dizer o ângulo recto do quadrado. E a primeira é ${\Vert \overrightarrow{AB}\Vert }^2$ , porque o produto escalar de um vetor por si próprio é o quadrado da norma.

A resposta é a opção (D).

pela definição, com o ângulo

A diagonal de um quadrado de lado $\ell$ mede $\ell \sqrt{2}$ , pelo Teorema de Pitágoras: ${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2=6+6=12$ , logo $\overline{AC}=\sqrt{12}$ .

Mesmo valor, mais contas. Guarda este caminho para quando o ângulo não for notável.

o que o produto escalar é e não é

O produto escalar de dois vetores é um número, não um vetor. E o sinal desse número diz-te o ângulo: positivo se o ângulo é agudo, zero se é recto, negativo se é obtuso. Aqui o ângulo é $\frac{\pi }{4}$ , agudo, portanto o resultado tinha de ser positivo — o que já elimina a opção (A) antes de qualquer conta.

de onde vem cada opção errada

• (A) $-6$ — sai de usar $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ em vez de $\cos \frac{\pi }{4}$ , ou seja, de tomar o ângulo suplementar do que interessa. Acontece a quem olha para a figura de perfil, onde o ângulo parece obtuso, em vez de pensar no quadrado visto de frente. O sinal negativo é o aviso: só um ângulo obtuso o produziria.
• (B) $0$ — é o valor de $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ , ou de $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ : dois lados consecutivos, que são perpendiculares. Apanha quem confunde $C$ com $D$ , isto é, quem toma $[AC]$ por um lado em vez da diagonal. Numerar o quadrado $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pela ordem em que aparecem é o que evita este erro.
• (C) $2\sqrt{6}$ — é a altura da pirâmide, que sai do volume: $4\sqrt{6}=\frac{1}{3}\times 6\times h\iff h=2\sqrt{6}$ . É um número verdadeiro deste grupo de itens, mas responde a outra pergunta. Apanha quem começa a usar todos os dados do enunciado sem perguntar de quais precisa.

onde é que este item come pontos

• Ler $\overline{AB}=6$ em vez de $\sqrt{6}$. O radical é pequeno e muda tudo: daria $36$ , que nem sequer é opção — e nesse ponto o melhor é voltar ao enunciado, não forçar a resposta mais parecida.
• Tratar $[AC]$ como um lado. Em $[ABCD]$ os vértices seguem a ordem do contorno; $A$ e $C$ são opostos.
• Tentar coordenadas. É possível determinar $A$ , $B$ e $C$ , mas é trabalho de vários minutos num item que se fecha em três linhas — e numa prova o tempo é cotação.
• Esquecer que o resultado é um escalar e responder com um vetor ou com um comprimento.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando o produto escalar envolve dois vetores de uma figura conhecida — quadrado, triângulo equilátero, hexágono regular, cubo —, não vás buscar coordenadas. Decompõe um dos vetores numa soma em que apareçam perpendiculares: as parcelas perpendiculares anulam-se e sobra ${\Vert \vec{u}\Vert }^2$ , que sabes de cor. E antes de calcular, decide o sinal pelo ângulo: metade das opções costuma cair com isso.