Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 12, resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2025 · 2.ª fase

12.

Admita que, de acordo com um estudo de mercado realizado pela Biclatour, empresa de fabrico de bicicletas, o número de unidades das bicicletas Ciclatour que se prevê vender, em função do preço, $p$ , em centenas de euros, de cada unidade, é dado, aproximadamente, por

N (p) = 4000 \times e^{- 0, 34 p} - 1, 12 p + 50, com 2 \leq p \leq 10

De acordo com este modelo, sabe-se que existe um único preço para o qual o valor total que se prevê obter com a venda das bicicletas Ciclatour é igual a $4000$ centenas de euros.

Determine esse preço, recorrendo à calculadora.

Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;
apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

O valor total que se prevê obter com a venda das bicicletas, em centenas de euros, é dado por $p \times N (p)$ .

Pretende-se, portanto, resolver a equação

p \times (4000 \times e^{- 0, 34 p} - 1, 12 p + 50) = 4000, com 2 \leq p \leq 10

Recorrendo à calculadora gráfica, represento as funções $y_{1} = x \times (4000 \times e^{- 0, 34 x} - 1, 12 x + 50)$ e $y_{2} = 4000$ , com $x \in [2, 10]$ , e determino o ponto de interseção dos seus gráficos.

Na calculadora gráfica

y1 = x*(4000*e^(-0.34*x) - 1.12*x + 50)

y2 = 4000

Janela: x de 2 a 10; y de 0 a 5000 · assinala a intersecção dos gráficos.

O ponto relevante é o ponto de interseção dos dois gráficos, cujas coordenadas, arredondadas às centésimas, são $(4, 73; 4000)$ .

A abcissa desse ponto é $4, 73$ , pelo que o preço procurado é $4, 73$ centenas de euros.

Como $4, 73 \times 100 = 473$ , o preço pedido é $473$ euros.

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

O item vale 14 pontos, e 7 deles — metade — ganham-se antes de tocar na calculadora. É a modelação que ele mede: perceber o que multiplica o quê.

1.º — o que é o «valor total»

Este é o passo que decide o item, e sozinho vale 4 pontos.

$N (p)$ é o número de unidades vendidas. $p$ é o preço de cada unidade, em centenas de euros. O dinheiro que entra é, portanto, preço vezes quantidade:

valor total = p \times N (p)

E as unidades fecham sozinhas: centenas de euros por bicicleta $\times$ bicicletas $=$ centenas de euros. Por isso é que o enunciado diz que o valor total é $4000$ centenas de euros — a mesma unidade de $p$ .

O erro que este item convida a cometer é resolver $N (p) = 4000$ . Seria «vender 4000 bicicletas», que é outra pergunta. Lê a frase devagar: o valor total que se prevê obter com a venda.

2.º — escrever a equação

p \times N (p) = 4000

ou, por extenso,

p \times (4000 \times e^{- 0, 34 p} - 1, 12 p + 50) = 4000, com 2 \leq p \leq 10

São mais 3 pontos. E há uma nota dura no critério: se não apresentares equação nenhuma, esta etapa vale 0 — e as restantes só contam se for inequívoco que resolveste a equação certa. A equação não é decoração: é o contrato com quem corrige.

3.º — resolver com a calculadora gráfica

Introduz duas funções e procura a intersecção:

y_{1} = x \times (4000 \times e^{- 0, 34 x} - 1, 12 x + 50) y_{2} = 4000

A janela tem de respeitar o domínio: $x \in [2, 10]$ . Em $y$ , escolhe algo como $[0, 5000]$ , que chega para ver a recta $y = 4000$ e o cume da curva.

Respeitar o domínio é pontuado. Se representares fora de $[2, 10]$ , a etapa dos 4 pontos é desvalorizada em 1 ponto. E se não desenhares o referencial (eixos, com escala), perdes outro ponto.

Na calculadora gráfica

y1 = x*(4000*e^(-0.34*x) - 1.12*x + 50)

y2 = 4000

Janela: x de 2 a 10; y de 0 a 5000 · assinala a intersecção dos gráficos.

No visor, $y_{1}$ sobe de cerca de $4148$ em $p = 2$ até um máximo perto de $p = 3$ , e depois desce sempre. Corta a recta $y = 4000$ uma só vez dentro do domínio — que é exactamente o que o enunciado te tinha garantido ao dizer «existe um único preço».

Assinala esse ponto de intersecção (é 1 ponto do critério; não chega desenhar, tens de marcá-lo) e lê-lhe as coordenadas:

(4, 73; 4000)

A abcissa arredondada às centésimas é $4, 73$ — mais 1 ponto.

de centenas de euros para euros

Falta a conversão que o item pede, e é onde se perde o último ponto por distracção.

$p$ está em centenas de euros. Logo:

4, 73 \times 100 = 473 euros

O enunciado pede o resultado em euros, arredondado às unidades: $473$ euros. Repara que os dois arredondamentos são pedidos ao mesmo tempo e são diferentes — às centésimas para a coordenada do gráfico, às unidades para a resposta final em euros.

substitui e vê se dá 4000

Com $p = 4, 73$ : $e^{- 0, 34 \times 4, 73} \approx e^{- 1, 608} \approx 0, 2003$ , logo $N (4, 73) \approx 4000 \times 0, 2003 - 5, 30 + 50 \approx 846$ unidades. E $4, 73 \times 846 \approx 4000$ . Bate.

Bónus de bom senso: $846$ bicicletas a $473$ euros cada é um cenário plausível — se te tivesse saído um número negativo de bicicletas, ou um preço fora de $[200, 1000]$ euros, havia erro de montagem.

onde é que se perdem pontos

Resolver $N (p) = 4000$ em vez de $p \times N (p) = 4000$ . Perde os 4 pontos da modelação e arrasta tudo o resto. É a perda mais cara do item.
Não escrever a equação. Mesmo com o gráfico certo e o número certo, a nota 1 do critério manda dar 0 a essa etapa.
Não desenhar o referencial (só a curva a flutuar) — $- 1$ ponto.
Não respeitar o domínio $[2, 10]$ na janela — $- 1$ ponto.
Não assinalar o ponto de intersecção no desenho — perde 1 ponto, mesmo que escrevas as coordenadas por baixo.
Responder $4, 73$ . Faltou converter: são centenas de euros. A resposta é $473$ euros.
Arredondar a meio das contas. Guarda todos os dígitos na calculadora e arredonda só no fim.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um modelo te dá quantidade em função de preço e a pergunta fala em receita, valor total ou volume de vendas, o que se resolve é sempre $pre \overset{c}{¸} o \times quantidade$ . E em qualquer item «recorrendo à calculadora» há três coisas que se escrevem sempre, porque são três etapas separadas: a equação, o referencial com o gráfico dentro do domínio, e o ponto assinalado com as coordenadas.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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