Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 13, resolvido

O item parece de geometria e é de sucessões. O que o resolve é ver que a área não muda de qualquer maneira de uma composição para a seguinte: muda sempre pelo mesmo factor. Isso é a definição de progressão geométrica.

1.º — ver o que acontece da 1.ª para a 2.ª composição

O quadrado inicial tem área $9$. Decompõe-se em $9$ quadrados iguais, logo cada um tem área $\frac{9}{9}=1$. Remove-se um (o central), sobram $8$.

E a razão entre elas: $\frac{a_2}{a_1}=\frac{8}{9}$.

2.º — ver que o factor se repete sempre

Este é o passo que vale 6 pontos — quase metade do item.

Passar de uma composição para a seguinte faz sempre a mesma coisa a cada quadrado: divide-o em $9$ partes iguais (cada uma com $\frac{1}{9}$ da área) e deita fora $1$ dessas $9$ partes. Cada quadrado passa, portanto, a valer $\frac{8}{9}$ do que valia.

Se todos os quadrados encolhem para $\frac{8}{9}$, a área total também:

Repara que o argumento não depende de quantos quadrados há nem do tamanho deles — por isso funciona em todas as passagens, e não só na primeira. É esta generalidade que tens de escrever.

$(a_n)$ é então uma progressão geométrica de razão $r=\frac{8}{9}$ e primeiro termo $a_1=9$.

3.º — o termo geral, e o expoente 49

Numa progressão geométrica, $a_n=a_1\times r^{n-1}$. Logo:

Para a 50.ª composição, $n=50$:

O expoente é $49$, não $50$. A razão é simples: a 1.ª composição é o ponto de partida, ainda não sofreu nenhuma remoção. Entre a 1.ª e a 50.ª há $49$ passagens, e cada passagem multiplica por $\frac{8}{9}$. Escrever esta expressão vale 6 pontos.

4.º — calcular e arredondar

Arredondado às milésimas, como o enunciado pede:

pelo que se retira, em vez do que fica

O critério aceita um segundo processo, que conta a área removida e a subtrai ao quadrado inicial. É mais longo, mas se te ocorrer primeiro, vale os mesmos 14 pontos.

O número de quadrados retirados em cada composição, a partir da 2.ª, é $1,8,64,\dots$ — progressão geométrica de razão $8$. A área de cada quadrado retirado é $1,\frac{1}{9},\frac{1}{81},\dots$ — progressão geométrica de razão $\frac{1}{9}$.

Multiplicando as duas, a área retirada em cada passo é $1,\frac{8}{9},{\left(\frac{8}{9}\right)}^2,\dots$ — progressão geométrica de razão $\frac{8}{9}$ e primeiro termo $1$. Na 50.ª composição já houve $49$ remoções, logo a área total retirada é a soma dos $49$ primeiros termos:

Como $1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$, esta soma é $9\left(1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^{49}\right)=9-9{\left(\frac{8}{9}\right)}^{49}$ — e ao subtrair de $9$ reencontras $9{\left(\frac{8}{9}\right)}^{49}$. Os dois caminhos são o mesmo, escrito ao contrário.

o valor tem de ser pequeno e positivo

A razão $\frac{8}{9}$ está entre $0$ e $1$, por isso a área decresce sempre e tende para zero. Ao fim de $49$ passos, um valor da ordem das centésimas é o que se espera. Se te tivesse saído um número maior do que $9$, a razão estaria invertida ($\frac{9}{8}$).

Cheque grosseiro: ${\left(\frac{8}{9}\right)}^{49}=e^{49\ln (8/9)}\approx e^{49\times (-0,1178)}\approx e^{-5,77}\approx 0,0031$, e $9\times 0,0031\approx 0,028$. Confere.

onde é que se perdem pontos

• Expoente $50$ em vez de $49$. Dá $\approx 0,025$ — errado, e o número está próximo o suficiente para não te levantar suspeitas. Conta as passagens, não as composições.
• Tomar $a_1=8$ (confundir «8 quadrados» com «área 8» da primeira composição). A 1.ª composição é o quadrado inteiro, de área $9$.
• Razão $\frac{1}{9}$ ou $8$. Uma esquece que ficam 8 quadrados, a outra esquece que cada um encolheu. A razão certa junta as duas coisas: $8\times \frac{1}{9}$.
• Não justificar que é geométrica. São 6 pontos por dizer, com argumento, que cada passagem multiplica a área por $\frac{8}{9}$. Saltar directo para a fórmula deixa metade do item em branco.
• Arredondar mal. «Milésimas» são três casas decimais: $0,028$. Nem $0,03$ nem $0,0280$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Fractal construído por repetição do mesmo procedimento $\Rightarrow$ progressão geométrica. A razão obténs-se sempre da mesma maneira: em quantas partes se divide e quantas se guardam. E o expoente é sempre o número de passagens, que é uma unidade menos do que a ordem da composição.