Este item tem duas metades bem separadas, e é preciso não as misturar. A primeira é contar a turma: transformar as percentagens e as frações num quadro com números inteiros. A segunda é contar grupos, com a regra de Laplace. Se a primeira metade sair errada, a segunda arrasta o erro toda — por isso ela vale 4 dos 14 pontos.
construir o quadro da turma
São 25 alunos.
Rapazes e raparigas.
rapazes=0,64×25=16raparigas=25−16=9Idades dos rapazes. 43 dos 16 rapazes têm 17 anos:
43×16=12 rapazes com 17 anos16−12=4 rapazes com 18 anosIdades das raparigas. 31 das 9 raparigas têm 18 anos:
31×9=3 raparigas com 18 anos9−3=6 raparigas com 17 anosO quadro fica:
| Rapazes | Raparigas | Total |
|---|
| 17 anos | 12 | 6 | 18 |
| 18 anos | 4 | 3 | 7 |
| Total | 16 | 9 | 25 |
O que interessa mesmo são os dois totais da direita: 18 alunos com 17 anos e 7 alunos com 18 anos. O enunciado diz «rapaz ou rapariga» de propósito — o sexo serve só para chegares às idades e depois deixa de contar.
1.º — casos possíveis
Escolher seis alunos «ao acaso» de entre os 25, sem que a ordem dentro do grupo tenha significado, é uma combinação:
25C6=1771002.º — casos favoráveis
O grupo pedido tem de ter, exactamente:
- a Isabel — está fixada, há 1 maneira de a escolher;
- o José — igualmente fixado, 1 maneira;
- outro aluno com 17 anos — os alunos com 17 anos são 18, mas a Isabel e o José já lá estão, logo sobram 18−2=16 para escolher, e escolhes um: 16C1=16;
- três alunos com 18 anos — escolhidos entre os 7 que existem: 7C3=35.
Como cada escolha se combina com todas as outras, multiplicam-se:
1×1×16×7C3=16×35=560O 18−2 é o coração do item. A Isabel e o José são alunos com 17 anos, e se os voltares a pôr no bolo dos candidatos contas grupos repetidos.
3.º — regra de Laplace
P=casos possıˊveiscasos favoraˊveis=25C616×7C3=177100560P≈0,0031620…dízima arredondada às milésimas
«Milésimas» são três casas decimais. A quarta casa é 1, logo arredonda-se por defeito:
P≈0,003Não escrevas a fração nem 0,0032 — o enunciado pediu dízima às milésimas, e a forma faz parte da resposta.
com o grupo ordenado (2.º processo do critério)
Se te for mais natural pensar em sequências, podes contar os seis lugares por ordem, desde que o faças dos dois lados da fração:
- casos possíveis: 25A6 (escolher seis alunos por ordem);
- casos favoráveis: 7C3×16×6! — escolhes o mesmo conjunto de seis pessoas e depois ordenas os seis de todas as maneiras.
P=25A67C3×16×6!≈0,003Dá o mesmo, porque 25A6=25C6×6! e o 6! corta. O que não podes é ordenar num lado e não ordenar no outro — é aí que este processo se estraga.
o resultado faz sentido?
0,003 é uma probabilidade muito pequena, e tem de ser: estás a exigir que duas pessoas concretas, escolhidas à sorte de entre 25, apareçam ambas num grupo de seis. Só isso já é raro. Além disso o valor está em [0,1] — condição que a nota 2 do critério verifica explicitamente, e que apanha contas invertidas.
onde é que este item come pontos
- Usar 18 em vez de 16 no aluno «extra» com 17 anos. É o erro que o item foi desenhado para provocar, e a nota 1 do critério é implacável: expressão de casos favoráveis não equivalente a 7C3×16 vale 0 pontos nessa etapa — 4 pontos de uma vez.
- Multiplicar ainda por 2C2 ou por 2 por causa da Isabel e do José. Eles não se escolhem: estão fixados. 2C2=1, logo escrever 2C2 é inofensivo, mas escrever 2 (ou 2!) duplica indevidamente a contagem.
- Errar o quadro da turma. 0,64×25, 43 dos rapazes e 31 das raparigas têm de sair inteiros; se não saírem, alguma leitura está trocada. Confirma sempre que as quatro células somam 25.
- Trocar 31 das raparigas de 18 para 17 anos. O enunciado diz 18 — e essa troca leva a 7 alunos com 18 anos passarem a 10.
- Misturar ordenado com não ordenado, por exemplo 25A6 em baixo e 7C3×16 em cima.
- Não arredondar às milésimas, ou apresentar a fração. A última etapa (2 pontos) é sobre o valor pedido, na forma pedida.
- Não apresentar as expressões. O critério pontua a expressão dos casos possíveis e a dos casos favoráveis separadamente: escrever só o valor final 0,003, sem elas, arrisca 8 pontos.
para reconheceres o próximo item deste tipo
Quando um item de probabilidades fixa pessoas com nome («a Isabel e o José»), a primeira coisa a fazer é retirá-las do universo de onde vais escolher os restantes. E quando as condições vêm em percentagens e frações cruzadas (sexo × idade), monta o quadro de dupla entrada antes de qualquer combinação — quase sempre a probabilidade só depende dos totais das linhas, e o quadro mostra-te isso de imediato.