Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 10.2, resolvido

O ponto $V$ está a uma certa direcção e a uma certa distância do centro da base. O item é exactamente isso: descobrir a direcção (vem do plano) e a distância (vem do volume), e depois andar de $M$ até $V$ .

O que faz isto funcionar é a palavra regular. Numa pirâmide regular o vértice fica mesmo por cima do centro da base, isto é, a reta $MV$ é perpendicular ao plano da base — e é daí que sai tudo.

1.º — a altura, a partir do volume

A base é um quadrado de lado $\sqrt{6}$ , logo tem área ${\left(\sqrt{6}\right)}^2=6$ . Cuidado: $6$ , não $\sqrt{6}$ — é o lado que mede $\sqrt{6}$ .

Do formulário, o volume de uma pirâmide é $\frac{1}{3}\times \text{Aˊrea da base}\times \text{Altura}$ :

É uma etapa pontuada por si (1 ponto), e é o único sítio onde o volume é usado.

2.º — a altura é o comprimento de $\overrightarrow{MV}$

A altura de uma pirâmide é a distância do vértice ao plano da base. Como a pirâmide é regular, o pé dessa perpendicular é o centro da base, $M$ . Logo a altura é $\overline{MV}$ , ou seja

Pode parecer que não se está a dizer nada de novo; está. Esta linha é o que converte um dado geométrico (a altura) num dado vetorial (uma norma), e é isso que permite continuar com álgebra. Vale 1 ponto.

3.º — a direcção, a partir do plano

A equação $2x-y+z-8=0$ dá-te de graça um vetor normal ao plano $ABC$ : os coeficientes de $x$ , $y$ e $z$ , isto é, $\vec{n}(2,-1,1)$ .

Agora encadeia: a reta $MV$ é perpendicular ao plano da base, e $\vec{n}$ também é perpendicular a esse plano. Duas direcções perpendiculares ao mesmo plano são colineares. Portanto $\vec{n}(2,-1,1)$ é um vetor diretor da reta $MV$ .

Vale 2 pontos, e é o passo que distingue quem percebeu o item de quem está a tentar adivinhar.

4.º — escrever a reta e o ponto genérico

Com um ponto ($M(2,-1,3)$) e um vetor diretor ($\vec{n}(2,-1,1)$), a equação vetorial da reta $MV$ é

e um ponto genérico dela tem coordenadas

$V$ é um destes pontos, para um $k$ que ainda não conheces. Estas duas etapas valem 2 + 2 pontos e ganham-se mesmo que não consigas fechar o item.

5.º — usar a distância para achar $k$

Igualas à altura e elevas ao quadrado os dois membros — podes fazê-lo porque ambos são não negativos:

Repara que ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=2^2\times {\left(\sqrt{6}\right)}^2=24$ — o $2$ também vai ao quadrado.

Os dois valores de $k$ têm de aparecer. $k^2=4$ tem duas soluções, e há mesmo dois pontos à distância $2\sqrt{6}$ de $M$ sobre aquela reta: um de cada lado da base. É por isso que o enunciado teve de acrescentar a condição da abcissa.

qual dos dois é o $V$

A abcissa é a primeira coordenada. $6>0$ e $-2<0$ , logo

Escreve esta comparação na folha. Apresentar os dois candidatos e justificar a escolha é o que vale os 2 pontos finais; apresentar só o certo, sem dizer porquê, arrisca-os.

$V$ não pode estar no plano da base

Substitui $V(6,-3,5)$ em $2x-y+z-8$ : $12+3+5-8=12\ne 0$ . Bem — $V$ é o vértice, não pode pertencer ao plano da base.

E confirma $M$ : $2(2)-(-1)+3-8=4+1+3-8=0$ . O centro da base está no plano, como tem de estar. Se esta conta não desse zero, havia um erro de leitura algures.

onde é que este item come pontos

• Área da base $=\sqrt{6}$. Confundir o lado com a área dá $h=4\sqrt{6}\times \frac{3}{\sqrt{6}}$ e estraga o item inteiro.
• Esquecer o $\frac{1}{3}$ do volume da pirâmide. Está no formulário — usa-o.
• Uma só solução em $k^2=4$. A raiz quadrada de uma equação quadrática tem dois ramos; escrever só $k=2$ perde o ponto da etapa e a justificação final fica sem sentido.
• ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=2\times 6=12$. O factor exterior também é elevado ao quadrado.
• Escolher o $k$ pela ordenada ou pela cota. Abcissa é a coordenada em $x$ .
• Não justificar a escolha final. Os dois pontos da última etapa pagam a justificação, não só o resultado.
• Deixar-se levar pela figura. Na Figura 3 o $V$ aparece à esquerda, o que sugere abcissa negativa; o enunciado diz o contrário, e o enunciado ganha sempre à perspectiva do desenho.

pelo vetor, sem escrever a reta

O critério aceita um segundo processo, mais curto. Como $V=M+\overrightarrow{MV}$ e $\overrightarrow{MV}$ é colinear com $\vec{n}(2,-1,1)$ , escreves logo $\overrightarrow{MV}=(2k,-k,k)$ , impões $\Vert \overrightarrow{MV}\Vert =2\sqrt{6}$ , obténs $k=\pm 2$ , daí $\overrightarrow{MV}=(4,-2,2)$ (o que dá abcissa positiva) e finalmente

É o mesmo raciocínio sem o intermediário da equação vetorial. Se te sentires seguro com vetores, poupa duas linhas; se não, o primeiro processo é mais difícil de baralhar.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Pirâmide regular» ou «cone» com o vértice por determinar é sempre a mesma receita, em três movimentos: direcção (o vetor normal do plano da base), distância (a altura, quase sempre vinda do volume) e desempate (uma condição sobre uma coordenada, porque há sempre dois pontos possíveis). Se um item destes te sair sem condição de desempate, é porque tens de dar as duas respostas.