Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 4, resolvido

Antes de fazeres uma única conta, olha para a estrutura da equação. Do lado esquerdo tens $e^x$ a multiplicar um logaritmo e um $-5$ a multiplicar outro logaritmo. Do lado direito tens $(5-e^x)$, que é exactamente $-(e^x-5)$.

Ou seja: o mesmo bloco $e^x-5$ aparece dos dois lados. Uma equação que mistura exponenciais com logaritmos quase nunca se resolve «isolando o $x$» — resolve-se transformando-a num produto igual a zero. É esse o plano todo, e o teu trabalho é só arrumar a equação até o produto aparecer.

o domínio primeiro, porque é ele que elimina soluções no fim

Um logaritmo só existe com argumento estritamente positivo. Tens três logaritmos, logo três condições:

• $\ln (4-x{)}^2$ existe se $(4-x{)}^2>0$, isto é, se $4-x\ne 0$, ou seja $x\ne 4$;
• $\ln (4-x)$ existe se $4-x>0$, isto é, $x<4$;
• $\ln (7-2x)$ existe se $7-2x>0$, isto é, $x<\frac{7}{2}$.

A intersecção das três é $x<\frac{7}{2}$, porque esta é a mais apertada e já implica as outras duas.

Esta etapa vale pontos por si (2 pontos), mesmo que não resolvas mais nada. E não é burocracia: mais à frente vais obter três valores e só o domínio te diz qual deles deitar fora.

1.º — baixar o expoente de dentro do logaritmo

O $\frac{1}{2}$ que está à frente do primeiro termo existe para se anular com o $2$ do expoente. Como no domínio $4-x>0$, podes escrever

Repara porque é que o domínio importa aqui: em rigor $\ln a^2=2\ln |a|$. Só porque já garantiste $4-x>0$ é que o módulo desaparece. Fora do domínio esta passagem seria falsa.

Substituindo:

Agora os dois logaritmos da esquerda são o mesmo $\ln (4-x)$ — foi isso que o $\frac{1}{2}$ te deu.

2.º — pôr tudo do mesmo lado e fazer o factor comum aparecer

À esquerda, $e^x$ e $-5$ multiplicam o mesmo logaritmo:

À direita, troca $5-e^x$ por $-(e^x-5)$ e passa tudo para a esquerda:

O factor $e^x-5$ está nas duas parcelas. Põe-no em evidência:

3.º — soma de logaritmos é logaritmo do produto

$\ln a+\ln b=\ln (ab)$ — e de novo só podes usá-lo porque os dois argumentos são positivos no domínio.

Conseguiste o que querias desde o início: um produto igual a zero.

4.º — lei do anulamento do produto

Um produto é nulo quando um dos factores é nulo:

Primeiro ramo. $e^x=5⟺x=\ln 5$.

Segundo ramo. $\ln A=0⟺A=e^0=1$, logo

Fórmula resolvente:

5.º — devolver ao domínio

Tens três candidatos: $\ln 5$, $3$ e $\frac{9}{2}$. O domínio é $x<\frac{7}{2}$.

• $\ln 5\approx 1,6<\frac{7}{2}$ — serve;
• $3<\frac{7}{2}$ — serve;
• $\frac{9}{2}=4,5>\frac{7}{2}$ — não serve, é solução da equação polinomial mas não da equação original.

Sem calculadora, para ver que $\ln 5<\frac{7}{2}$ basta-te uma majoração honesta: $e>2$, logo $e^{3,5}>2^{3,5}>8>5$, e portanto $\ln 5<3,5$. Não precisas de valor decimal nenhum.

valores exactos, não aproximações

O item proíbe a calculadora e não pede aproximação. A resposta escreve-se com os valores exactos:

Escrever «$1,61$» em vez de $\ln 5$ é perder a forma pedida.

confirma o segundo ramo de cabeça

Para $x=3$: $4-x=1$ e $7-2x=1$. Então $\ln 1+\ln 1=0$ — o segundo factor anula-se mesmo. É uma verificação que fazes em três segundos e que apanha erros de sinal na equação do 2.º grau.

Para $x=\frac{9}{2}$: $4-x=-\frac{1}{2}<0$, logo $\ln (4-x)$ nem existe. Confirma-se que o domínio o expulsa.

onde é que este item come pontos

• Não determinar o domínio. São 2 pontos perdidos logo à partida, e ainda arrastam o resto.
• Apresentar $\frac{9}{2}$ como solução. A nota do critério é explícita: se apresentares valores que não pertencem ao domínio, a etapa final vale no máximo 2 dos 3 pontos. Resolver bem e não filtrar é entregar pontos.
• Escrever $\ln (4-x{)}^2=2\ln (4-x)$ sem ter o domínio garantido. Formalmente é $2\ln |4-x|$; a passagem só é legítima depois de $4-x>0$.
• Distribuir mal o $\frac{1}{2}$. Há quem escreva $\frac{1}{2}{e}^x\cdot 2=e^x$ mas se esqueça de que o $\frac{1}{2}$ não toca no termo $-5\ln (4-x)$.
• Não reconhecer $5-e^x=-(e^x-5)$. Sem esse sinal o factor comum não aparece e o item trava.
• Errar o sinal do termo independente. De $28-15x+2x^2=1$ vem $2x^2-15x+27=0$ (e não $-27$). Com $-27$ o discriminante dá $441$ e saem raízes erradas.
• Tentar resolver por logaritmos «separados», do género passar a exponencial a ambos os lados. A equação não é dessa família: o caminho é sempre a factorização.

para reconheceres o próximo item deste tipo

Sempre que uma equação misturar $e^x$ com logaritmos e o mesmo bloco aparecer dos dois lados (aqui $e^x-5$ e $5-e^x$), não procures isolar o $x$: junta tudo num lado, põe o bloco em evidência e usa a lei do anulamento do produto. O $\frac{1}{2}$ e o expoente $2$ estão lá de propósito para te darem o logaritmo repetido. E o domínio calcula-se antes, não depois — é ele a última peneira.