Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 4.1, resolvido

1.º — o que governa este item: a definição de continuidade num ponto

A função $f$ está definida por ramos, e $x=-2$ é exactamente o ponto onde os ramos mudam. Sempre que te pedem continuidade num ponto de mudança de ramo, a pergunta é sempre a mesma e tem três números a comparar:

A função é contínua em $x=-2$ se e só se os três forem iguais. Escreveres esta frase logo no início vale pontos por si — é a primeira etapa do critério ($2$ pontos), e ganha-se antes de fazer uma única conta.

decidir qual o ramo que serve cada um dos três

Olha para as condições: o primeiro ramo vale para $x<-2$ e o segundo para $x\ge -2$. Daqui sai tudo:

• $f(-2)$ e o limite à direita usam o segundo ramo, $2e^{x+2}+3e^{-x-2}$ (repara que $-2$ pertence ao segundo ramo, porque a desigualdade é $\ge$);
• o limite à esquerda usa o primeiro ramo, $\frac{e^{x+2}-1}{x^2-4}$.

Trocar os ramos é o erro mais caro deste item, e é um erro de leitura, não de cálculo.

2.º — o lado fácil: $f(-2)$ e o limite à direita

O segundo ramo é uma soma de exponenciais, que são funções contínuas em $\mathbb{R}$; por isso o limite à direita calcula-se por substituição directa:

Já aqui podes registar uma conclusão parcial: $f$ é contínua à direita em $x=-2$. O critério dá $2$ pontos por esta etapa, e basta acertar num dos dois valores.

3.º — o lado difícil: o limite à esquerda é uma indeterminação

Pela esquerda usas o primeiro ramo. Substituindo directamente:

Dizer em voz alta que estás perante uma indeterminação $\frac{0}{0}$ é uma etapa pontuada ($1$ ponto): mostra que reconheceste que numerador e denominador tendem ambos para zero. Não saltes essa linha.

4.º — porque é que factorizar o denominador resolve o obstáculo

A indeterminação existe porque $x=-2$ anula os dois. O numerador $e^{x+2}-1$ anula-se em $-2$ porque o expoente $x+2$ se anula lá; o denominador anula-se porque $x^2-4=(x-2)(x+2)$ tem o factor $x+2$.

Ou seja: o factor culpado é o mesmo dos dois lados, $x+2$. Se separares esse factor, o que sobra deixa de ser indeterminado:

E a separação em produto de dois limites só é legítima porque ambos existem e são finitos — é isso que vais mostrar a seguir.

5.º — o limite notável, com a mudança de variável escrita

O limite notável que tens no formulário é $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{e^y-1}{y}=1$. O teu tem $x+2$ no expoente e $x+2$ no denominador — é exactamente a mesma forma, com $y=x+2$.

Quando $x\to -2$, tem-se $y=x+2\to 0$, logo

Esta é a etapa mais bem paga do processo ($2$ pontos). Escreve a mudança de variável — é o que prova que aplicaste o notável e não o invocaste de cor.

6.º — juntar as duas peças

O segundo factor já não é indeterminado: $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=\frac{1}{-4}$. Então

pela regra de L'Hôpital (2.º Processo do critério)

O critério aceita, com a mesma cotação, resolver a indeterminação por L'Hôpital. Depois de dizeres que $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(e^{x+2}-1\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(x^2-4\right)=0$, derivas numerador e denominador em separado (não é a derivada do quociente):

Chegas ao mesmo valor. Escolhe um processo e leva-o até ao fim — misturar os dois a meio costuma custar etapas.

7.º — a conclusão, que é uma etapa por si

Como os limites laterais são diferentes, não existe $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)$ e, portanto, $f$ não é contínua em $x=-2$.

como se escreve a resposta

O item diz «averigue», por isso a resposta é uma frase de conclusão, não um número solto. Escreve «a função $f$ não é contínua em $x=-2$» e diz porquê (os limites laterais não coincidem). Deixa $-\frac{1}{4}$ em fracção — não passes a $-0,25$ sem necessidade.

um teste de bom senso

Os dois ramos são objectos muito diferentes perto de $-2$: à direita tens uma soma de exponenciais que vale $5$, à esquerda um quociente que arranca de uma indeterminação. Nada obriga a que coincidam — se te desse $5$ dos dois lados, valia a pena reconferir as contas; que dê $-\frac{1}{4}$ é perfeitamente natural.

onde se perdem pontos neste item

• Não escrever a condição de continuidade no início: são $2$ pontos que se ganham só por enunciar a definição.
• Usar o ramo errado em $f(-2)$: como a condição é $x\ge -2$, o ponto $-2$ pertence ao segundo ramo. Quem usa o primeiro obtém uma indeterminação onde devia ter $5$.
• Não declarar a indeterminação $\frac{0}{0}$ antes de a levantar: etapa pontuada perdida.
• Aplicar L'Hôpital derivando o quociente em vez de derivar numerador e denominador em separado.
• Calcular só um dos limites laterais e concluir daí: com ramos diferentes, os dois são obrigatórios.
• Parar em $-\frac{1}{4}$ sem escrever a conclusão: o critério paga $2$ pontos só pela frase final.
• Escrever que $f$ é descontínua «em $\mathbb{R}$»: a descontinuidade é apenas no ponto $x=-2$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que aparecer «averigue a continuidade» num ponto de mudança de ramo, o guião é fixo: escreve a definição com os três objectos, identifica o ramo de cada um, e espera uma indeterminação no ramo que tem o quociente. Quando o numerador é do tipo $e^{\text{algo}}-1$ e esse «algo» se anula no ponto, o caminho é quase sempre o limite notável $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{e^y-1}{y}=1$ — factoriza o denominador até fazer aparecer o mesmo «algo» por baixo.