Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 4.3, resolvido

1.º — o ponto de partida: traduzir «paralela ao eixo $Ox$»

Uma reta paralela ao eixo $Ox$ é horizontal, e uma reta horizontal tem declive zero. Como $t$ é tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $-2+\ln a$ , o declive de $t$ é $f^{\prime }(-2+\ln a)$ .

Toda a condição do enunciado se resume, então, a uma equação:

O critério paga $1$ ponto por dizer que o declive é zero e mais $2$ por escrever esta equação — $3$ pontos ganhos antes de derivar seja o que for.

localizar o ponto de tangência: qual o ramo?

A função tem dois ramos e derivadas diferentes em cada um. Tens de garantir em qual estás. Como $a>1$ , tem-se $\ln a>\ln 1=0$ , logo

O ponto de tangência está estritamente à direita de $-2$ , portanto no segundo ramo, $f(x)=2e^{x+2}+3e^{-x-2}$ . É uma etapa pontuada ($1$ ponto) e uma linha a escrever — não é detalhe: no primeiro ramo a derivada seria outra e o resultado sairia errado.

2.º — derivar o segundo ramo, termo a termo

Usa ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ em cada parcela.

• Na primeira, $u=x+2$ e $u^{\prime }=1$ , logo ${\left(2e^{x+2}\right)}^{\prime }=2e^{x+2}$ .
• Na segunda, $u=-x-2$ e $u^{\prime }=-1$ , logo ${\left(3e^{-x-2}\right)}^{\prime }=3\times (-1)\times e^{-x-2}=-3e^{-x-2}$ .

O sinal menos da segunda parcela é o coração deste item ($3$ pontos nesta etapa). Se te esquecesses dele, ficarias com $2e^{x+2}+3e^{-x-2}$ , que é sempre positivo e nunca se anula — não haveria tangente horizontal nenhuma e o item deixaria de ter resposta. Se chegares a uma equação impossível, volta a este sinal.

3.º — calcular a derivada no ponto, com $e^{\ln a}=a$

Substitui $x=-2+\ln a$ e simplifica os expoentes antes de qualquer outra coisa:

• primeiro expoente: $(-2+\ln a)+2=\ln a$ ;
• segundo expoente: $-(-2+\ln a)-2=2-\ln a-2=-\ln a$ .

Agora usa as duas propriedades que fazem o item colapsar: $e^{\ln a}=a$ (válido porque $a>1>0$) e $e^{-\ln a}=\frac{1}{e^{\ln a}}=\frac{1}{a}$ .

Repara no que aconteceu: a escolha de $-2+\ln a$ como abcissa não foi inocente — foi feita de propósito para que as exponenciais desaparecessem e sobrasse uma equação algébrica em $a$ . Vale $2$ pontos.

4.º — resolver a equação em $a$

Como $a>1$ , em particular $a\ne 0$ , e podes multiplicar por $a$ sem perder soluções:

Racionalizando: $\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Escreve as duas raízes ($3$ pontos): $a^2=k$ com $k>0$ tem sempre duas soluções simétricas, e quem escreve só a positiva perde a etapa.

5.º — rejeitar a raiz que o enunciado não admite

O enunciado impõe $a\in \left]1,+\infty \right[$ . A raiz negativa $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ está fora — e nem sequer faria sentido, porque $\ln a$ exigiria $a>0$ .

Falta confirmar que a raiz positiva serve mesmo: $\frac{\sqrt{6}}{2}>1\iff \sqrt{6}>2\iff 6>4$ , que é verdade. Logo $\frac{\sqrt{6}}{2}\in \left]1,+\infty \right[$ .

pelo 2.º Processo do critério: zeros de $f^{\prime }$ e só depois $a$

O critério admite, com a mesma cotação, resolver primeiro $f^{\prime }(x)=0$ em ordem a $x$ e só no fim identificar $a$ .

Como a abcissa é $-2+\ln a$ , igualas:

Mesmo valor. Este caminho tem uma vantagem: a raiz negativa nem chega a aparecer, porque o logaritmo já garante $a>0$ .

como se escreve a resposta

O resultado é exacto e racionalizado: $a=\frac{\sqrt{6}}{2}$ . As formas $\sqrt{\frac{3}{2}}$ e $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ também são aceites («ou equivalente»), mas a forma com denominador racional é a que se apresenta. Nada de $1,22$ — o item é sem calculadora.

um teste rápido

Com $a=\frac{\sqrt{6}}{2}$ , tem-se $a^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ , logo $2a-\frac{3}{a}=\frac{2a^2-3}{a}=\frac{3-3}{a}=0$ $✓$ . E como $\frac{\sqrt{6}}{2}\approx \frac{2,4}{2}=1,2>1$ , a condição do enunciado fica verificada.

onde se perdem pontos neste item

• Não justificar que $-2+\ln a>-2$ e, com isso, não deixar claro que se usa o segundo ramo: $1$ ponto perdido e a derivada fica sem fundamento.
• Perder o sinal menos em ${\left(3e^{-x-2}\right)}^{\prime }=-3e^{-x-2}$ , esquecendo a derivada do expoente. É o erro que torna o item impossível.
• Escrever $e^{-\ln a}=-a$ em vez de $\frac{1}{a}$ .
• Apresentar só a raiz positiva de $a^2=\frac{3}{2}$ : o critério pede as duas antes da rejeição.
• Não rejeitar explicitamente $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ invocando $a\in \left]1,+\infty \right[$ : é a etapa final, $1$ ponto.
• Deixar $\sqrt{\frac{3}{2}}$ por racionalizar — é aceite, mas a forma apresentada deve ser $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
• Confundir «paralela ao eixo $Ox$» com «paralela ao eixo $Oy$»: esta última teria declive indefinido e a tangente a um gráfico de função nunca é vertical.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Tangente paralela ao eixo $Ox$» é sempre, sem excepção, $f^{\prime }(x_0)=0$ . E quando o enunciado te dá uma abcissa com ar estranho — $-2+\ln a$ , $\ln (3k)$ , $\frac{\pi }{2}+\theta$ — essa abcissa foi escolhida para simplificar a expressão da derivada : substitui e simplifica os expoentes antes de fazer contas, e vê a expressão colapsar.