O item não pede nenhuma conta: pede que reconheças o que é que multiplicar por i faz a um afixo. Tudo o que precisas está nessa leitura geométrica e na figura.
1.º — multiplicar por i é rodar 90∘ no sentido positivo
Escreve i na forma trigonométrica: i=1×(cos2π+isen2π), ou seja i=ei2π.
Ao multiplicar dois complexos, os módulos multiplicam-se e os argumentos somam-se. Como o módulo de i é 1, multiplicar um complexo por i não lhe muda o módulo — só lhe soma 2π ao argumento.
Traduzindo para a figura: o afixo de iz3 obtém-se rodando o afixo de z3 de 90∘ em torno da origem, no sentido positivo (contrário ao dos ponteiros do relógio).
2.º — usar o facto de os quatro afixos estarem à mesma distância de O
O enunciado diz que A, B, C e D são equidistantes de O: os quatro afixos têm o mesmo módulo ρ, isto é, estão todos sobre a mesma circunferência de centro O. Como [ABCD] é um quadrado, o centro dessa circunferência é o centro do quadrado, e dois vértices consecutivos vêem-se de O sob um ângulo de 90∘.
Logo, os argumentos de z1,z2,z3,z4 diferem, de um para o seguinte, exactamente de 2π.
3.º — ler na figura o sentido em que os vértices se sucedem
Na Figura 3, A está em cima à direita, B em cima à esquerda, C em baixo à esquerda e D em baixo à direita. Percorrer A→B→C→D é, portanto, andar no sentido positivo.
Uma rotação de +90∘ em torno de O leva então cada vértice ao seguinte nesta lista:
A→BB→CC→DD→AComo C é o afixo de z3 e D é o afixo de z4, a rotação de +90∘ leva o afixo de z3 ao afixo de z4:
iz3=z4A opção correcta é a (B).
confirmar com argumentos concretos
Escolhe uma inclinação compatível com a figura, por exemplo ρ=1 e
z1=cis75∘z2=cis165∘z3=cis255∘z4=cis345∘(75∘ cai no 1.º quadrante, 165∘ no 2.º, 255∘ no 3.º e 345∘ no 4.º — é exactamente a disposição da figura.) Então
iz3=cis90∘×cis255∘=cis345∘=z4de onde vem cada opção errada
Com os argumentos do exemplo acima (z3 com argumento 255∘):
(A) z2 — é cis165∘=cis(255∘−90∘): é a rotação de −90∘, ou seja −iz3. Sai de trocar o sentido da rotação — de multiplicar por −i em vez de i, ou de ler a sucessão dos vértices no sentido dos ponteiros do relógio.
(C) z2 — é cis(−165∘)=cis195∘, um ponto que nem sequer é vértice do quadrado. Sai de juntar dois erros: rodar para o lado errado e, por cima, confundir «multiplicar por i» com «conjugar» (que é reflectir no eixo real, e não rodar).
(D) z4 — é cis(−345∘)=cis15∘, que também não é vértice do quadrado. É a armadilha para quem acerta no vértice (z4) mas acrescenta uma conjugação que ninguém pediu, tipicamente por recordar mal a igualdade i1=−i e a trocar por uma conjugação.
onde é que este item se perde
- Rodar para o lado errado. O sentido positivo é o contrário ao dos ponteiros do relógio; multiplicar por i roda nesse sentido, multiplicar por −i roda no outro.
- Não usar a hipótese «equidistantes da origem». É ela que garante que O é o centro do quadrado; sem isso a rotação de 90∘ em torno de O não levaria um vértice a outro vértice.
- Confundir conjugar com rodar. z é a reflexão no eixo real; iz é uma rotação. Só coincidem em casos muito particulares, que não é o caso aqui.
- Contar os vértices pela ordem do nome e não pela figura. A letra do vértice e o índice do complexo andam juntos (A↔z1, …), mas quem decide o sentido é o desenho.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
Sempre que aparecer um polígono regular de n lados com os vértices equidistantes da origem, os afixos são ρcis(θ+n2kπ) e multiplicar por cisn2π faz rodar um vértice para o vértice seguinte. No quadrado, 42π=2π, e o factor é precisamente i.
![Figura 3: no plano complexo (eixos $\mathrm{Re}(z)$ e $\mathrm{Im}(z)$, origem $O$), um quadrado $[ABCD]$ ligeiramente inclinado e centrado em $O$; o vértice $A$ está no primeiro quadrante (canto superior direito), $B$ no segundo (canto superior esquerdo), $C$ no terceiro (canto inferior esquerdo) e $D$ no quarto (canto inferior direito)](https://storage.edtitancdn.com/00000000-0000-4000-8000-000000000001/media/4917521297f8.webp)