Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 11.(AE2018), resolvido

Este é um item de Bolzano-Cauchy (teorema dos valores intermédios), e esses itens têm sempre a mesma anatomia: traduzir o pedido numa equação, garantir a continuidade num intervalo FECHADO, calcular os valores nos extremos, mostrar que o valor procurado fica entre eles, e só então concluir. Os critérios pontuam cada uma dessas peças em separado — por isso nenhuma se salta, nem mesmo a que parece óbvia.

1.º — traduzir «o gráfico intersecta a reta $y=2$» numa equação

Um ponto do gráfico de $g$ tem coordenadas $(x,g(x))$. Um ponto da reta $y=2$ tem ordenada $2$. Os dois coincidem exactamente quando

Logo, o que tens de mostrar é que a equação $g(x)=2$ tem pelo menos uma solução em $\left]-1,1\right[$.

Escreve esta frase na folha. Vale 2 pontos por si, e é a etapa que a maioria dos alunos dá por subentendida.

2.º — a continuidade — e o pormenor do intervalo FECHADO

A função $f$ é contínua em $\mathbb{R}$ (é hipótese do enunciado) e a função $x\mapsto e^{2x}$ é contínua em $\mathbb{R}$, por ser composta de funções contínuas. A diferença de duas funções contínuas é contínua, logo $g$ é contínua em $\mathbb{R}$.

Em particular, $g$ é contínua no intervalo $[-1,1]$.

⚠️ Escreve o intervalo fechado. Os critérios são explícitos: quem escrever «$g$ é contínua em $\left]-1,1\right[$» leva 0 pontos nesta etapa — e, pela nota 3, leva também 0 pontos na conclusão. São 5 dos 14 pontos perdidos por um par de parênteses. O teorema exige continuidade no fechado precisamente porque usa os valores nos extremos.

(Se escreveres apenas «$g$ é contínua», sem dizer onde, a etapa é considerada cumprida.)

3.º — calcular $g(1)$

Repara no duplo sinal: $f(1)=-2$, e subtrai-se $f(1)$, portanto soma-se $2$. É uma troca de sinal fácil de fazer à pressa.

4.º — usar a imparidade para chegar a $f(-1)$

Aqui está a ideia que o item guarda: não te é dado $f(-1)$. É dado que $f$ é ímpar, e uma função ímpar verifica, por definição,

Com $x=1$:

Esta etapa vale 2 pontos e tem de aparecer escrita: não chega usar o valor $2$ sem dizer de onde veio.

5.º — calcular $g(-1)$

6.º — enquadrar o $2$ e invocar o teorema

Tens $g(-1)\approx -1,86$ e $g(1)\approx 9,39$. Como $-1,86<2<9,39$:

Estão reunidas as duas condições do Teorema de Bolzano-Cauchy: $g$ é contínua em $[-1,1]$ e $2$ é um valor estritamente compreendido entre $g(-1)$ e $g(1)$.

Conclui-se que existe pelo menos um $c\in \left]-1,1\right[$ tal que $g(c)=2$ — ou seja, o gráfico de $g$ intersecta a reta $y=2$ num ponto de abcissa em $\left]-1,1\right[$, como se pretendia mostrar.

pela função auxiliar $h(x)=g(x)-2$

Há quem prefira reduzir tudo a um zero. Define $h(x)=g(x)-2=e^{2x}-f(x)-2$, contínua em $[-1,1]$ pelas mesmas razões.

Como $h(-1)\times h(1)<0$, o corolário de Bolzano garante um zero de $h$ em $\left]-1,1\right[$, e um zero de $h$ é uma solução de $g(x)=2$. As duas redacções valem a mesma cotação — escolhe a que te sair mais natural, mas não misturas as duas.

a conclusão é razoável?

A função $g$ passa de um valor negativo em $x=-1$ para quase $9,4$ em $x=1$; num salto desses tem mesmo de passar por $2$ algures. E repara que o teorema garante pelo menos um ponto, não exactamente um: sem saber mais nada sobre $f$, não podes afirmar que a solução é única (para isso precisarias, por exemplo, de monotonia de $g$).

onde é que se perdem pontos

• Escrever «$g$ é contínua em $\left]-1,1\right[$»: 0 pontos na etapa da continuidade e 0 pontos na conclusão (nota 3). É a perda mais cara do item.
• Não escrever a equação $g(x)=2$, saltando directamente para os cálculos: $-2$ pontos.
• Usar $f(-1)=2$ sem justificar pela imparidade: $-2$ pontos.
• Trocar o sinal em $g(1)=e^2-(-2)$ e escrever $e^2-2$.
• Confundir função ímpar com função par e escrever $f(-1)=f(1)=-2$.
• Escrever a desigualdade ao contrário, $g(1)<2<g(-1)$, por não comparar os valores.
• Concluir «existe $c$ tal que $g(c)=0$» — o valor intermédio aqui é $2$, não $0$.
• Terminar nos cálculos sem a frase de conclusão: são 3 pontos.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que leres «mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy», escreve mentalmente a lista de verificação e cumpre-a por ordem: equação · contínua no FECHADO · valor num extremo · valor no outro extremo · o alvo fica entre os dois · conclusão com o intervalo aberto.

E fixa o sinal de alarme: quando o enunciado te dá uma paridade ($f$ par ou ímpar) e o valor da função só num dos extremos, é porque a paridade é a ponte para o outro extremo. Essa ponte é sempre uma etapa pontuada.