Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 2, resolvido

O que governa este item. «Estudar quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos» é uma instrução com um guião fixo, e a grelha paga etapa a etapa desse guião: derivar, igualar a zero, resolver, quadro de sinal, ler a monotonia, identificar o extremo, calcular o valor do extremo. São $14$ pontos repartidos por sete gestos — e nenhum deles se recebe se ficar por fazer, mesmo que o resultado final esteja certo.

Nota bem o domínio: ${\mathbb{R}}^{+}$ , ou seja $\left]0,+\infty \right[$ . Tudo o que estudares tem de ficar dentro dele, e o $0$ nunca é candidato a extremo porque nem sequer pertence ao domínio.

1.º — derivar — $3$ pontos, e é a etapa mais pesada

A parcela $1$ é constante e derivada dá $0$. Fica o quociente $\frac{\ln x}{x^2}$ , que pede a regra do quociente do formulário, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ , com $u=\ln x$ e $v=x^2$ :

O numerador simplifica porque $\frac{1}{x}\times x^2=x$ :

Agora põe $x$ em evidência no numerador e corta com o $x^4$ — este é o passo que torna o resto do item fácil, e quem não o dá fica a estudar o sinal de uma expressão desnecessariamente pesada:

A nota 1 dos critérios diz que, se for evidente a intenção de derivar, garantes pelo menos $1$ ponto desta etapa. Ou seja: escreve sempre a regra do quociente, mesmo que depois te enganes nas contas.

2.º — os zeros da derivada

Uma fração é nula quando o numerador é nulo e o denominador não. Em ${\mathbb{R}}^{+}$ o denominador $x^3$ nunca se anula, por isso a condição sobre o denominador está automaticamente garantida:

Para desfazer o logaritmo aplicas a exponencial aos dois membros, usando que $e^{\ln x}=x$ :

Repara que $e^{\frac{1}{2}}$ e $\sqrt{e}$ são o mesmo número — os critérios aceitam qualquer das duas escritas. E confirma que ele pertence ao domínio: $\sqrt{e}\approx 1,65>0$ . ✔

Escrever a linha $h^{\prime }(x)=0$ vale $1$ ponto por si só, e obter o zero vale $2$. São três pontos em duas linhas.

3.º — o sinal de $h^{\prime }$ — e o argumento que poupa contas

Aqui está o raciocínio que este item quer ver: o denominador não muda o sinal. Como $x>0$ em todo o domínio, tens $x^3>0$ sempre, logo

E o sinal de $1-2\ln x$ lê-se directamente:

(atenção: ao dividir por $-2$ a desigualdade inverte-se, e depois usa-se que a exponencial é crescente).

Se preferires, testa dois pontos, que é igualmente válido: $h^{\prime }(1)=\frac{1-2\ln 1}{1}=\frac{1-0}{1}=1>0$ , e $h^{\prime }(e)=\frac{1-2\ln e}{e^3}=\frac{1-2}{e^3}=-\frac{1}{e^3}<0$ . Dois valores simples, escolhidos de propósito um de cada lado de $\sqrt{e}\approx 1,65$ .

4.º — o quadro — $4$ pontos, a maior fatia do item

Esta etapa vale $4$ dos $14$ pontos, mais do que a derivada. Não a substituas por uma frase: desenha o quadro.

($x=0$ leva «n.d.» porque não pertence ao domínio ${\mathbb{R}}^{+}$ , que é aberto à esquerda.)

5.º — ler o quadro: monotonia e extremo

A derivada passa de positiva a negativa ao atravessar $\sqrt{e}$ — é essa mudança de sinal, e só ela, que garante que há máximo relativo em $x=\sqrt{e}$ . Como não há mais nenhuma mudança de sinal, não há mínimos relativos, e convém dizê-lo explicitamente: o enunciado pergunta pela existência de extremos.

Apresentar os intervalos vale $2$ pontos, e a nota 2 dos critérios dá-te uma folga: se escreveres $\left]0,\sqrt{e}\right[$ e $\left]\sqrt{e},+\infty \right[$ (abertos no zero da derivada), a etapa conta na mesma. Ainda assim, a versão fechada é a mais correcta: em $\sqrt{e}$ a função está definida e o crescimento chega mesmo até lá.

6.º — o valor do extremo

O enunciado pede «determine, caso existam, esses extremos» — e extremo é o valor da função, não a abcissa onde ocorre. Há duas etapas separadas na grelha: reconhecer que o extremo é $h\left(\sqrt{e}\right)$ ($1$ ponto) e calcular esse valor ($1$ ponto).

As duas simplificações que precisas:

• ${\left(\sqrt{e}\right)}^2=e$ ;
• $\ln \sqrt{e}=\ln e^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln e=\frac{1}{2}$ , usando $\ln a^p=p\ln a$ e $\ln e=1$ .

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como entregar a resposta

Não é pedida aproximação, por isso o valor fica exacto: $1+\frac{1}{2e}$ . Escrever $1,18$ (ou qualquer arredondamento) em vez disto não cumpre a etapa. As formas equivalentes aceites são, por exemplo, $\frac{2e+1}{2e}$ ou $1+\frac{1}{2}{e}^{-1}$ .

E a resposta escrita tem de conter as três coisas que o enunciado pediu: os intervalos de monotonia, a existência do máximo relativo (e a inexistência de mínimos), e o valor $1+\frac{1}{2e}$ .

um teste de bom senso

Se quiseres confirmar que $\sqrt{e}$ é mesmo máximo, compara com dois valores fáceis: $h(1)=1+\frac{\ln 1}{1}=1+0=1$ e $h(e)=1+\frac{1}{e^2}\approx 1,135$ . O candidato a máximo dá $1+\frac{1}{2e}\approx 1,184$ , que é maior do que os dois, um de cada lado. ✔

onde é que este item se perde

• Errar a regra do quociente, sobretudo trocar a ordem do numerador ($u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$ , e não $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$) ou esquecer que ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ . O sinal trocado inverte a monotonia inteira e leva o item atrás.
• Não simplificar $\frac{x-2x\ln x}{x^4}$ . Não é erro, mas deixa-te a estudar o sinal de uma expressão mais confusa, onde é mais fácil enganares-te.
• Resolver $\ln x=\frac{1}{2}$ como $x=\frac{1}{2}$ , esquecendo a exponencial. Ou escrever $x=e^2$ , invertendo o expoente.
• Estudar o sinal de $x^3$ como se pudesse ser negativo. Isso é verdade em $\mathbb{R}$ , mas aqui o domínio é ${\mathbb{R}}^{+}$ — e é o domínio que te poupa esse caso.
• Não apresentar o quadro. São $4$ pontos que se perdem inteiros por «já se vê».
• Dar a resposta como $x=\sqrt{e}$ e parar. Isso é onde está o extremo; o extremo é $h\left(\sqrt{e}\right)$ .
• Errar $\ln \sqrt{e}$ , escrevendo $\sqrt{1}$ ou $e^{\frac{1}{2}}$ em vez de $\frac{1}{2}$ .
• Esquecer de dizer que não há mínimos relativos. O enunciado pergunta pela existência de extremos — a resposta completa inclui o que não existe.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que a derivada sair na forma $\frac{\text{algo}}{x^n}$ com o domínio restringido a ${\mathbb{R}}^{+}$ , o denominador é decorativo: não se anula nem muda de sinal, logo o estudo do sinal reduz-se ao numerador. Identificar isto na primeira linha transforma um item de $14$ pontos numa conta de duas linhas.