O que governa este item é o teorema que liga o sinal da derivada à monotonia: onde f′>0 a função cresce, onde f′<0 decresce, e um zero de f′ onde o sinal muda é um extremo relativo.
Repara primeiro no intervalo pedido: ]−∞,3[. Aí vale só o ramo de cima, f(x)=4−e3−x(x+1)−21x2. O ramo de baixo não entra neste item.
derivar com a regra do produto e a derivada da exponencial
A expressão tem três parcelas. A constante 4 tem derivada nula e −21x2 tem derivada −x. O trabalho está na parcela do meio, e3−x(x+1), que é um produto em que o primeiro factor é uma exponencial composta.
Do formulário, (eu)′=u′eu. Aqui u=3−x e u′=−1, portanto
(e3−x)′=−e3−xO sinal negativo que sai do expoente é o detalhe que decide o item — quem o esquece obtém uma derivada com o sinal trocado e acaba com a monotonia invertida.
1.º — determinar f′(x)
Pela regra do produto,
(e3−x(x+1))′=−e3−x(x+1)+e3−x×1=e3−x(−(x+1)+1)=−xe3−xLogo
f′(x)=0−(−xe3−x)−x=xe3−x−xe, pondo x em evidência,
f′(x)=x(e3−x−1),x∈]−∞,3[Esta factorização não é um capricho: é ela que transforma o estudo do sinal num produto de dois factores simples, cada um dos quais se analisa de olhos fechados. Esta etapa vale 3 pontos.
2.º — calcular os zeros da derivada
f′(x)=0⟺x(e3−x−1)=0⟺x=0∨e3−x=1Da segunda condição, e3−x=1⇔3−x=0⇔x=3.
Mas x=3 não pertence a ]−∞,3[, logo é de rejeitar. Diz isso explicitamente na folha — é o tipo de justificação que os critérios esperam.
O único zero de f′ no intervalo é x=0.
3.º — estudar o sinal de f′
O factor e3−x−1 tem sinal fixo em todo o intervalo, e é esse o ponto que simplifica tudo: para x<3 tem-se 3−x>0, e a exponencial é crescente, logo
e3−x>e0=1⟹e3−x−1>0Portanto, em ]−∞,3[, o sinal de f′ é o sinal de x.
| x | −∞ | | 0 | | 3 |
|---|
| x | | − | 0 | + | |
| e3−x−1 | | + | + | + | |
| f′ | | − | 0 | + | n.d. |
| f | | ↘ | mín. | ↗ | n.d. |
O quadro vale 4 pontos — é a etapa mais cotada do item. Desenha-o mesmo que já tenhas a conclusão na cabeça.
4.º — concluir a monotonia e o extremo
Do quadro lê-se directamente que a função f:
- é decrescente em ]−∞,0];
- é crescente em [0,3[;
- tem um mínimo relativo para x=0.
O extremo existe porque em x=0 a derivada anula-se e muda de sinal, de negativa para positiva. Um zero da derivada sem mudança de sinal não daria extremo nenhum.
como se escreve a resposta
O enunciado é explícito sobre o formato: intervalos de monotonia e valores de x onde há extremo. Não te pedem o valor do extremo, só a abcissa — escrever f(0)=4−e3 não prejudica, mas também não acrescenta pontos.
Os intervalos escrevem-se fechados em 0 (]−∞,0] e [0,3[), porque a monotonia em sentido lato inclui o ponto. Os critérios aceitam também a forma aberta (]−∞,0[ e ]0,3[).
E não uses a palavra «máximo»: a derivada passa de negativa a positiva, o que caracteriza um mínimo.
confere com um valor grande e negativo
Para x muito negativo, e3−x é enorme e x é negativo, logo f′(x)=x(e3−x−1) é negativo — bate com «decrescente». Para x entre 0 e 3, x é positivo e o parêntesis continua positivo, logo f′(x)>0 — bate com «crescente».
onde se perdem pontos
Esquecer o −1 da derivada de e3−x: obténs f′(x)=−x(e3−x+1) ou parecido, e o quadro sai invertido. É a perda mais cara do item, porque contamina tudo o que vem a seguir.
Não pôr x em evidência: sem a factorização, o estudo do sinal fica por fazer e os 4 pontos do quadro dificilmente se ganham.
Aceitar x=3 como zero de f′: pertence à fronteira e está fora do intervalo pedido. Tens de o rejeitar por escrito.
Saltar o quadro de sinal: são 4 pontos. Mesmo que a conclusão esteja certa, sem quadro (ou justificação equivalente do sinal) perdem-se.
Não justificar que e3−x−1>0 em ]−∞,3[: é essa desigualdade que autoriza dizer que o sinal de f′ é o sinal de x.
Dar intervalos em vez de abcissas na parte dos extremos, ou dizer «tem um mínimo em f(0)» — pede-se o valor de x, que é 0.
Estender o estudo a x>3: o item restringe-se a ]−∞,3[; o outro ramo não conta.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
«Monotonia e extremos» é sempre o mesmo guião: derivar → igualar a zero → rejeitar os zeros fora do domínio pedido → quadro de sinal → ler monotonia e extremos.
E fixa o atalho que este item ensina: quando a derivada sai como produto, estuda o sinal factor a factor; muitas vezes um dos factores tem sinal constante em todo o intervalo e o problema reduz-se ao outro.