Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 7, resolvido

O que governa este item é a probabilidade condicionada. A frase «selecionou-se, ao acaso, uma pessoa que não utilizou o para-vento» não é um enfeite: é a informação que reduz o universo. Tu já não escolhes entre todos os banhistas, escolhes entre os que não usaram para-vento. É por isso que o pedido é $P\left(S\mid \overline{V}\right)$ e não $P(S)$.

dar nome aos acontecimentos e traduzir os três dados

Começa sempre por nomear, porque é a tradução que vale pontos (as três primeiras etapas do critério são exactamente isso):

• $S$ — «a pessoa utilizou o guarda-sol»;
• $V$ — «a pessoa utilizou o para-vento».

As três informações do enunciado traduzem-se assim:

• «$75\%$ utilizaram o guarda-sol» $\Rightarrow P(S)=0,75$;
• «$22\%$ não utilizaram o guarda-sol nem o para-vento» $\Rightarrow P(\overline{S}\cap \overline{V})=0,22$;
• «uma em cada cinco das pessoas que utilizaram o guarda-sol também utilizou o para-vento» $\Rightarrow P(V\mid S)=\frac{1}{5}$.

Repara no terceiro: «de entre as que utilizaram o guarda-sol» é uma condição. Não é $P(S\cap V)=\frac{1}{5}$, é $P(V\mid S)=\frac{1}{5}$. Confundir os dois custa $2$ pontos de imediato e estraga tudo o que vem a seguir.

1.º — passar da condicionada para a intersecção

A definição de probabilidade condicionada, $P(V\mid S)=\frac{P(S\cap V)}{P(S)}$, lida ao contrário dá-te a intersecção:

$15\%$ dos banhistas usaram as duas coisas. Esta etapa vale $2$ pontos por si.

2.º — identificar o pedido

«Escolheu-se uma pessoa que não utilizou o para-vento; qual é a probabilidade de ter utilizado o guarda-sol?» — o que se sabe vai depois da barra, o que se pergunta vai antes:

Escrever esta igualdade é uma etapa pontuada ($2$ pontos para identificar o pedido, mais $1$ para a fórmula). Escreve-a mesmo que ainda não tenhas os números.

3.º — construir o numerador

$S$ parte-se em duas fatias disjuntas: os que também usaram para-vento e os que não usaram. Logo $P(S)=P(S\cap V)+P(S\cap \overline{V})$, donde

4.º — construir o denominador

$\overline{V}$ parte-se do mesmo modo, agora conforme a pessoa usou ou não guarda-sol:

Repara que é aqui que o dado dos $22\%$ entra — e só aqui. Se não o usares, é sinal de que o denominador está errado.

5.º — obter o valor pedido

pela tabela de dupla entrada

O critério de classificação dá a cotação toda a quem organize os dados numa tabela de dupla entrada, com as linhas $V$ e $\overline{V}$ e as colunas $S$ e $\overline{S}$. Preenches as células conhecidas e completas por somas, linha a linha e coluna a coluna:

Com a tabela feita, a resposta lê-se na linha do $\overline{V}$: $\frac{0,6}{0,82}$. A tabela tem a vantagem de denunciar erros: se alguma linha ou coluna não somar o total, há um dado mal traduzido.

percentagem arredondada às unidades

$0,731707\dots \times 100=73,17\dots$, e arredondado às unidades dá $73\%$. Arredonda só no fim: se arredondares $0,6$ ou $0,82$ pelo caminho não perdes nada aqui, mas o hábito estraga itens em que a conta é mais sensível.

o resultado faz sentido?

Entre os que não usaram para-vento, a maioria esmagadora ($0,6$ em $0,82$) usou guarda-sol — coerente com o facto de $75\%$ de toda a gente ter usado guarda-sol. E $73\%<75\%$, o que também é natural: saber que a pessoa não usou para-vento torna-a ligeiramente menos provável de ser utilizadora de guarda-sol, porque os utilizadores de para-vento são quase todos utilizadores de guarda-sol.

onde este item come pontos

• Trocar $P(V\mid S)$ por $P(S\cap V)$. É o erro que o enunciado convida a cometer, com o «uma em cada cinco das pessoas que utilizaram o guarda-sol».
• Inverter a condicionada no pedido e calcular $P\left(\overline{V}\mid S\right)=\frac{0,6}{0,75}=0,8$, ou seja $80\%$. O que se sabe vai depois da barra.
• Responder $0,6$, isto é $60\%$, esquecendo de dividir pelo universo reduzido. Quem faz isto responde à pergunta «qual é a probabilidade de usar guarda-sol e não usar para-vento», que não foi a feita.
• Não usar os $22\%$. Se o dado não entrou em lado nenhum, o denominador está errado.
• Não apresentar o resultado em percentagem, ou não arredondar às unidades — o enunciado pede as duas coisas e a última etapa depende disso.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que o enunciado disser «escolheu-se ao acaso uma pessoa que ...», essa oração é a condição: vai para depois da barra e passa a ser o denominador. Escreve $P(\text{pedido}\mid \text{o que se sabe})$ antes de fazer contas — é uma etapa pontuada e é o que impede a inversão.