Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 9, resolvido

Este item não te dá um único número. Dá-te duas relações entre quantidades desconhecidas e pede uma probabilidade condicionada. O que o torna resolúvel é que a condicionada é um quociente, e todas as probabilidades vão ficar escritas em função de $P(F)$ — que acaba por se cortar.

nomear os acontecimentos

1.º — traduzir as duas condições do enunciado

Como o aluno é escolhido ao acaso, as proporções de alunos são probabilidades. A primeira condição — «Filosofia é o dobro de Economia A» — dá

A segunda — «quem frequenta pelo menos uma é o triplo de quem frequenta as duas» — dá

Fixa a leitura: «pelo menos uma das duas» é a união; «as duas» é a intersecção.

2.º — identificar o que é pedido

«A probabilidade de não frequentar Economia A, sabendo-se que frequenta Filosofia» é uma condicionada, com a condição a seguir à barra:

Esta identificação vale 2 pontos. Escreve-a antes de calcular o que quer que seja — é ela que te diz que o denominador vai ser $P(F)$.

3.º — exprimir a intersecção em função de $P(F)$

Aplica a regra da probabilidade da união ao lado esquerdo da segunda condição:

Substitui $P(E)=\frac{1}{2}P(F)$:

Porquê é que isto resolve o obstáculo: não sabes quanto vale $P(F)$, mas não precisas — a partir daqui tudo o que interessa está escrito como um múltiplo de $P(F)$, e no quociente final essa incógnita desaparece.

4.º — a parte de Filosofia que não é de Economia A

O acontecimento $F$ parte-se em duas fatias disjuntas: os que também frequentam Economia A e os que não. Logo

5.º — a definição de probabilidade condicionada

O $P(F)$ corta — é por isso que o enunciado nunca precisou de te dar um número de alunos.

a forma pedida

O enunciado pede fração irredutível. Como $\mathrm{mdc}(5,8)=1$, $\frac{5}{8}$ já está irredutível. Não converter para decimal: $0,625$ não é a forma pedida.

confere com números concretos

Toma $P(F\cap E)=3$ alunos em cada $x$. Então $P(F\cup E)=9$, e como $P(F)=2P(E)$, escreve $P(E)=k$, $P(F)=2k$: $2k+k-3=9\Rightarrow k=4$. Logo há $8$ alunos em Filosofia, $4$ em Economia A e $3$ nas duas. Dos $8$ de Filosofia, $8-3=5$ não frequentam Economia A: $\frac{5}{8}$. Bate.

onde é que este item se perde

– Trocar a ordem na condicionada: calcular $P\left(F\mid \overline{E}\right)$ em vez de $P\left(\overline{E}\mid F\right)$. O que vem depois do «sabendo-se que» é a condição, e vai para o denominador.

– Ler «pelo menos uma» como intersecção: é união. É o erro que estraga a segunda condição e, com ela, o item inteiro.

– Inverter o dobro: escrever $P(E)=2P(F)$. «Filosofia é o dobro de Economia A» significa $P(F)=2P(E)$.

– Tentar arranjar números de alunos e ficar bloqueado por o enunciado não os dar: trabalha em função de $P(F)$; a incógnita corta-se no fim.

– Esquecer $-P(F\cap E)$ na regra da união: $P(F\cup E)=P(F)+P(E)-P(F\cap E)$, porque quem frequenta as duas seria contado duas vezes.

– Não apresentar em fração irredutível, como o enunciado exige.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um item de probabilidades só dá relações («é o dobro de», «é o triplo de») e nenhum valor absoluto, o pedido é quase de certeza uma condicionada — e a estratégia é exprimir tudo em função de uma só probabilidade, que se corta no quociente final.