Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 12.2, resolvido

Este item tem uma arquitectura muito reconhecível: equação do 3.º grau em $\mathbb{C}$ → três raízes → escolher uma pelo argumento. Quem vê isto ao ler o enunciado já sabe a sequência inteira antes de escrever a primeira linha.

O ponto de partida é a decisão de linguagem: a equação mistura a forma algébrica ($1-i$) com a forma trigonométrica ($8\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}$), e uma radiciação só se faz na forma trigonométrica. Portanto, converte tudo para exponencial e trabalha lá.

1.º — isolar $z^3$

É a primeira etapa pontuada, e vale $2$ pontos por si. Passa a parcela para o outro membro e divide:

Podes dividir com tranquilidade porque $1-i\ne 0$ .

2.º — pôr $1-i$ na forma trigonométrica

O denominador está na forma algébrica e tem de passar a exponencial para a divisão ser imediata. Módulo primeiro:

Argumento depois. De $\mathrm{tg}\theta =\frac{-1}{1}=-1$ saem dois candidatos, $-\frac{\pi }{4}$ e $\frac{3\pi }{4}$ ; a tangente sozinha nunca decide. Quem decide é o quadrante: $1-i$ tem parte real positiva e parte imaginária negativa, logo está no quarto quadrante, e portanto

Diz sempre o quadrante na folha. É o que separa uma escolha justificada de um palpite, e esta etapa vale $2$ pontos.

3.º — dividir — e ver o número bonito que aparece

Na forma exponencial, dividir é dividir módulos e subtrair argumentos:

Repara nas duas simplificações: o $\sqrt{2}$ desaparece (era por isso que o enunciado escolheu $8\sqrt{2}$ , e não $8$), e os dois quartos de $\pi$ somam-se para dar $\frac{\pi }{2}$ . O resultado, $8e^{i\frac{\pi }{2}}$ , é simplesmente $8i$ — e é essa limpeza que te confirma que vais bem. Esta etapa vale $3$ pontos.

4.º — as três raízes cúbicas

Agora a radiciação. A fórmula está no formulário da prova:

Com $\rho =8$ , $\theta =\frac{\pi }{2}$ e $n=3$ :

As três raízes têm de aparecer escritas. O $k\in \{0,1,2\}$ faz parte da etapa, que vale $2$ pontos; sem ele estás a dar uma raiz em vez de resolver a equação. Desenvolve:

• $k=0$ : $\frac{\frac{\pi }{2}}{3}=\frac{\pi }{6}$ , logo $z=2e^{i\frac{\pi }{6}}$ ;
• $k=1$ : $\frac{\frac{\pi }{2}+2\pi }{3}=\frac{\frac{5\pi }{2}}{3}=\frac{5\pi }{6}$ , logo $z=2e^{i\frac{5\pi }{6}}$ ;
• $k=2$ : $\frac{\frac{\pi }{2}+4\pi }{3}=\frac{\frac{9\pi }{2}}{3}=\frac{3\pi }{2}$ , logo $z=2e^{i\frac{3\pi }{2}}$ .

Confere pelo bom senso: as três raízes de um mesmo complexo têm todas o mesmo módulo e argumentos afastados de $\frac{2\pi }{3}$ . De $\frac{\pi }{6}$ para $\frac{5\pi }{6}$ vai $\frac{4\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ ; de $\frac{5\pi }{6}$ para $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}$ vai outra vez $\frac{4\pi }{6}$ . Estão certas.

qual das três é o $w$

Aqui volta a condição do contentor do item 12., aquela que no 12.1. não servia para nada: o argumento de $w$ pertence a $\left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ .

Compara os três argumentos com esse intervalo, e diz porquê de cada um:

• $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ — fora (primeiro quadrante);
• $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$ — dentro (segundo quadrante);
• $\frac{3\pi }{2}>\pi$ — fora.

Logo $w=2e^{i\frac{5\pi }{6}}$ . Esta etapa vale $3$ pontos, e o que ela paga é a justificação da escolha, não o resultado sozinho.

passar à forma algébrica, que é o que o enunciado pede

O enunciado pede $a+bi$ com $a,b\in \mathbb{R}$ . Parar em $2e^{i\frac{5\pi }{6}}$ deixa $2$ pontos em cima da mesa.

$\frac{5\pi }{6}$ é do segundo quadrante, com ângulo de referência $\frac{\pi }{6}$ , logo $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cosseno negativo no segundo quadrante) e $\mathrm{sen}\frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ (seno positivo).

Deixa o $\sqrt{3}$ em radical: o item é sem calculadora e não pede aproximação nenhuma, portanto o valor exacto é a forma pedida.

pelo caminho algébrico, sem converter o $8\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}$

O critério aceita um segundo processo, que troca a conversão do denominador pela conversão do numerador. Começa igual, com $z^3=\frac{8\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}}{1-i}$ , e depois escreve o numerador na forma algébrica:

Agora divide na forma algébrica, multiplicando pelo conjugado do denominador:

Reconhece então que $8i=8e^{i\frac{\pi }{2}}$ (módulo $8$ , imagem no semieixo imaginário positivo) e segue exactamente como no primeiro processo. Os pontos distribuem-se de forma ligeiramente diferente, mas o total é o mesmo.

Qual escolher? Se estás confortável com a forma trigonométrica, o primeiro processo é mais curto. Se a conversão de $1-i$ te deixa inseguro por causa do quadrante, o segundo evita-a — mas obriga-te à multiplicação pelo conjugado.

substitui e vê a equação fechar

Com $w=-\sqrt{3}+i$ : $\left|w\right|=\sqrt{3+1}=2$ , e a imagem está no segundo quadrante, com argumento $\frac{5\pi }{6}$ — condizente com a restrição do enunciado.

E ao cubo: $w^3=2^3{e}^{i\times 3\times \frac{5\pi }{6}}=8e^{i\frac{5\pi }{2}}=8e^{i\frac{\pi }{2}}=8i$ , porque $\frac{5\pi }{2}-2\pi =\frac{\pi }{2}$ . Substituindo na equação original,

A equação fecha. Se tiveres tempo na prova, esta conta demora meia dúzia de linhas e apanha qualquer erro de sinal cometido pelo caminho.

onde é que este item come pontos

• Errar o quadrante de $1-i$ . Ver $\mathrm{tg}\theta =-1$ e escrever $\frac{3\pi }{4}$ é o erro mais frequente do item. $1-i$ tem parte real positiva: é quarto quadrante, $-\frac{\pi }{4}$ .
• Somar em vez de subtrair na divisão. O argumento do denominador subtrai-se; como já é negativo, a subtracção transforma-se numa soma — e é fácil enganar-se a contar os sinais.
• Dar só uma raiz cúbica. Sem o $k\in \{0,1,2\}$ escrito, perdes a etapa e ainda arriscas escolher a raiz errada por não teres as três à frente.
• Errar a soma $\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{3}$ . Reduz ao mesmo denominador primeiro: $\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{5\pi }{2}$ , e só depois divide por $3$ .
• Escolher a raiz sem justificar. Os $3$ pontos dessa etapa pagam a comparação dos três argumentos com $\left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ , e não a resposta certa por sorte.
• Confundir intervalo aberto com fechado. O intervalo é aberto, mas nenhuma das três raízes cai nos extremos, portanto aqui não há ambiguidade — não percas tempo com ela.
• Parar na forma trigonométrica. O enunciado pede $a+bi$ ; $2e^{i\frac{5\pi }{6}}$ não é a forma pedida e custa $2$ pontos.
• Trocar os sinais de $\cos \frac{5\pi }{6}$ e $\mathrm{sen}\frac{5\pi }{6}$ . No segundo quadrante o cosseno é negativo e o seno é positivo; trocar dá $\sqrt{3}-i$ , que nem sequer está no quadrante certo.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«$z^n=\dots$ , mais uma condição sobre o argumento» é um dos itens mais estáveis do exame, e resolve-se sempre nos mesmos cinco movimentos: isolar $z^n$ → pôr tudo na forma trigonométrica → aplicar a fórmula da radiciação com os $n$ valores de $k$ → filtrar pela condição dada → converter para a forma pedida.

A condição sobre o argumento nunca é decoração: existe precisamente porque a equação tem $n$ soluções e o enunciado precisa de fixar uma. Quando a vires no enunciado, já sabes que vais ter de listar todas as raízes.