Este item não te pede contas: pede duas justificações. E é corrigido por níveis, não por etapas — o que o corrector procura é se cada razão está completa, não se um número bateu certo. Aqui o texto é a resposta.
Tudo o que precisas está na primeira condição: f′′(x)≥0⇔x≥43 . Uma equivalência não é uma implicação — descreve o sinal de f′′ em toda a reta real, e é essa leitura completa que resolve as duas proposições.
ler o sinal de f′′ a partir da equivalência
A equivalência tem duas leituras, e vais precisar das duas:
f′′(x)≥0⇔x≥43e, por negac¸a˜of′′(x)<0⇔x<43Repara no que isto significa: à direita de 43 o sinal de f′′ nunca é negativo, em ponto nenhum, por muito longe que vás; e à esquerda é sempre negativo. O quadro de sinais está todo aqui:
Os dois zeros não contradizem nada: em x=3 a função f′′ anula-se, mas anular-se não é mudar de sinal. De um lado e do outro de 3 , f′′ continua a ser positiva.
1.º — porque é que a proposição I é falsa
Um ponto de inflexão exige mudança do sentido da concavidade, e o sentido da concavidade do gráfico de f é dado pelo sinal de f′′ . Logo, para que o ponto de abcissa a seja de inflexão, f′′ tem de mudar de sinal em a . Um zero de f′′ não chega: é condição necessária, nunca suficiente.
Em x=43 há mudança — f′′ é negativa antes e não negativa depois. Esse ponto é mesmo de inflexão.
Em x=3 não há. Como 3>43 , a primeira condição garante f′′(x)≥0 em todo o intervalo ]43,+∞[ , que contém 3 e vizinhanças suas dos dois lados. A concavidade é voltada para cima antes e depois de 3 ; o gráfico apenas encosta à tangente e segue com a mesma concavidade.
Conclusão: o gráfico de f tem um único ponto de inflexão, o de abcissa 43 . A proposição I é falsa porque 3 não é abcissa de ponto de inflexão.
2.º — porque é que a proposição II é falsa
O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é f′(a) . Traduzida, a proposição II afirma f′(−2)<f′(−1) .
Comparar f′ em dois pontos faz-se pela monotonia de f′ , e a monotonia de f′ lê-se no sinal da derivada de f′ — que é f′′ . É esta a segunda leitura da condição, e é o passo que o item quer ver.
Como −2<−1<43 , os dois pontos estão no intervalo ]−∞,43[ , onde f′′(x)<0 . Logo f′ é decrescente nesse intervalo.
Uma função decrescente inverte a ordem. De −2<−1 vem
f′(−2)>f′(−1)ou seja, o declive de r é maior do que o declive de s — exactamente o contrário do que a proposição afirma. A proposição II é falsa.
o que tem de estar escrito para chegar ao nível de topo
O descritor mais alto do parâmetro A pede as duas justificações completas. «Completa», aqui, quer dizer três coisas em cada uma: a propriedade de f′′ que usas, a consequência que dela tiras sobre f ou sobre f′ , e a conclusão dita sobre a proposição. Escrever «não muda de sinal» sem dizer em que intervalo, ou «f′ é decrescente» sem dizer onde, conta como justificação incompleta.
E há o parâmetro B, Linguagem Científica, que vale 2 pontos por si: diz «ponto de inflexão», «mudança de sinal», «sentido da concavidade», «monotonia», «declive», e não troques f′ por f′′ em linha nenhuma.
onde é que este item come pontos
- Confundir zero de f′′ com ponto de inflexão. É o erro central do item — a proposição I foi construída em cima dele.
- Justificar a I dizendo apenas «são os zeros, logo é falso». Sem apontar onde é que f′′ não muda de sinal, a justificação fica incompleta e o nível desce.
- Esquecer a negação da equivalência. Sem f′′(x)<0⇔x<43 não tens o sinal à esquerda e não podes dizer nada sobre a monotonia de f′ .
- Comparar f(−2) com f(−1) em vez de f′(−2) com f′(−1) . O declive da tangente é a derivada no ponto, não a imagem.
- Usar o sinal de f′′ para concluir sobre a monotonia de f . f′′ dá a monotonia de f′ ; a monotonia de f vinha do sinal de f′ , que aqui não conheces.
- Inverter mal a desigualdade. Como f′ é decrescente, a ordem troca-se. Escrever f′(−2)<f′(−1) é, sem dar por isso, confirmar a proposição em vez de a negar.
- Dizer «é falsa» sem razão. O enunciado pede explicitamente uma razão para cada proposição; a afirmação sozinha não vale nada.
como é que este item é corrigido
Não há etapas com pontos avulsos: há dois parâmetros. O A (Conteúdos) vale até 12 pontos em quatro níveis — 12 pelas duas justificações completas, 9 por uma completa e outra incompleta, 6 por só uma completa ou as duas incompletas, 3 por uma só e incompleta. O B (Linguagem Científica) vale 2 ou 1 .
Isto muda a estratégia na prova: escreve sempre as duas, mesmo que a segunda te saia imperfeita. Passar do nível 2 ao 3 são 3 pontos que uma frase adicional paga, e uma justificação incompleta vale mais do que uma folha em branco.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
Sempre que um item te dá o sinal da segunda derivada por uma equivalência do tipo f′′(x)≥0⇔x≥a , está a oferecer-te o quadro de sinais inteiro — e está, quase de certeza, a preparar a armadilha de um zero que não é inflexão.
E fixa o par de leituras, porque é ele que resolve os dois pontos deste item: f′′ governa a concavidade de f e, ao mesmo tempo, a monotonia de f′ . A segunda leitura é a que serve para comparar declives de tangentes.